Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62642 / 26314
↖ ↑ ↗
← N 72.651400°
W  7.948609°		 ← 91.07 m → N 72.651400°
W  7.945862°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 72.650581°
W  7.948609°		 ← 91.08 m →
8 292 m²		 N 72.650581°
W  7.945862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477924346923828 y=0.200763702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477924346923828 × 217)
    floor (0.477924346923828 × 131072)
    floor (62642.5)     		tx = 62642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200763702392578 × 217)
    floor (0.200763702392578 × 131072)
    floor (26314.5)     		ty = 26314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62642 / 26314 ti = "17/62642/26314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62642/26314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62642 ÷ 217
    62642 ÷ 131072     		x = 0.477920532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26314 ÷ 217
    26314 ÷ 131072     		y = 0.200759887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477920532226562 × 2 - 1) × π
    -0.044158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13872939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200759887695312 × 2 - 1) × π
    0.598480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.88018107689784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13872939} λ = -0.13872939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.88018107689784))-π/2
    2×atan(6.554691657969)-π/2
    2×1.41940123547035-π/2
    2.8388024709407-1.57079632675     		φ = 1.26800614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13872939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.948609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26800614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.651400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62642 KachelY 26314 -0.13872939 1.26800614 -7.948609 72.651400
    Oben rechts KachelX + 1 62643 KachelY 26314 -0.13868145 1.26800614 -7.945862 72.651400
    Unten links KachelX 62642 KachelY + 1 26315 -0.13872939 1.26799185 -7.948609 72.650581
    Unten rechts KachelX + 1 62643 KachelY + 1 26315 -0.13868145 1.26799185 -7.945862 72.650581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26800614-1.26799185) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26800614-1.26799185) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13872939--0.13868145) × cos(1.26800614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298184620126653 × 6371000     		do = 91.073258258795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13872939--0.13868145) × cos(1.26799185) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.298198260018599 × 6371000     		du = 91.0774242328859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26800614)-sin(1.26799185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298184620126653-0.298198260018599)×R²
    abs(-0.13868145--0.13872939)×1.36398919452496e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.36398919452496e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.36398919452496e-05×40589641000000     		ar = 8291.64387703815m²