Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62641 / 39390
↖ ↑ ↗
← N 58.127220°
W  7.951355°		 ← 161.24 m → N 58.127220°
W  7.948609°		 →
↑
161.25 m
↓
↑
161.25 m
↓
N 58.125770°
W  7.951355°		 ← 161.25 m →
26 001 m²		 N 58.125770°
W  7.948609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477916717529297 y=0.300525665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477916717529297 × 217)
    floor (0.477916717529297 × 131072)
    floor (62641.5)     		tx = 62641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300525665283203 × 217)
    floor (0.300525665283203 × 131072)
    floor (39390.5)     		ty = 39390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62641 / 39390 ti = "17/62641/39390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62641/39390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62641 ÷ 217
    62641 ÷ 131072     		x = 0.477912902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39390 ÷ 217
    39390 ÷ 131072     		y = 0.300521850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477912902832031 × 2 - 1) × π
    -0.0441741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13877732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300521850585938 × 2 - 1) × π
    0.398956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25335817746599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13877732} λ = -0.13877732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25335817746599))-π/2
    2×atan(3.5020838514992)-π/2
    2×1.2926538530769-π/2
    2.5853077061538-1.57079632675     		φ = 1.01451138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13877732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.951355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01451138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.127220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62641 KachelY 39390 -0.13877732 1.01451138 -7.951355 58.127220
    Oben rechts KachelX + 1 62642 KachelY 39390 -0.13872939 1.01451138 -7.948609 58.127220
    Unten links KachelX 62641 KachelY + 1 39391 -0.13877732 1.01448607 -7.951355 58.125770
    Unten rechts KachelX + 1 62642 KachelY + 1 39391 -0.13872939 1.01448607 -7.948609 58.125770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01451138-1.01448607) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dl = 161.250010000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01451138-1.01448607) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dr = 161.250010000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13877732--0.13872939) × cos(1.01451138) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.528034941734598 × 6371000     		do = 161.241821719014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13877732--0.13872939) × cos(1.01448607) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.528056435390605 × 6371000     		du = 161.248385065444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01451138)-sin(1.01448607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528034941734598-0.528056435390605)×R²
    abs(-0.13872939--0.13877732)×2.14936560071211e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14936560071211e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14936560071211e-05×40589641000000     		ar = 26000.774535889m²