Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62641 / 26316
↖ ↑ ↗
← N 72.649762°
W  7.951355°		 ← 91.06 m → N 72.649762°
W  7.948609°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
N 72.648943°
W  7.951355°		 ← 91.07 m →
8 291 m²		 N 72.648943°
W  7.948609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477916717529297 y=0.200778961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477916717529297 × 217)
    floor (0.477916717529297 × 131072)
    floor (62641.5)     		tx = 62641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.200778961181641 × 217)
    floor (0.200778961181641 × 131072)
    floor (26316.5)     		ty = 26316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62641 / 26316 ti = "17/62641/26316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62641/26316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62641 ÷ 217
    62641 ÷ 131072     		x = 0.477912902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26316 ÷ 217
    26316 ÷ 131072     		y = 0.200775146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477912902832031 × 2 - 1) × π
    -0.0441741943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13877732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.200775146484375 × 2 - 1) × π
    0.59844970703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8800852030986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13877732} λ = -0.13877732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8800852030986))-π/2
    2×atan(6.5540632649006)-π/2
    2×1.41938694077028-π/2
    2.83877388154056-1.57079632675     		φ = 1.26797755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13877732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.951355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26797755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.649762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62641 KachelY 26316 -0.13877732 1.26797755 -7.951355 72.649762
    Oben rechts KachelX + 1 62642 KachelY 26316 -0.13872939 1.26797755 -7.948609 72.649762
    Unten links KachelX 62641 KachelY + 1 26317 -0.13877732 1.26796326 -7.951355 72.648943
    Unten rechts KachelX + 1 62642 KachelY + 1 26317 -0.13872939 1.26796326 -7.948609 72.648943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26797755-1.26796326) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26797755-1.26796326) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13877732--0.13872939) × cos(1.26797755) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.298211909394648 × 6371000     		do = 91.0625940229287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13877732--0.13872939) × cos(1.26796326) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.298225549164761 × 6371000     		du = 91.0667590908192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26797755)-sin(1.26796326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.298211909394648-0.298225549164761)×R²
    abs(-0.13872939--0.13877732)×1.36397701132052e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.36397701132052e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.36397701132052e-05×40589641000000     		ar = 8290.67294671919m²