Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62640 / 39394
↖ ↑ ↗
← N 58.121419°
W  7.954101°		 ← 161.30 m → N 58.121419°
W  7.951355°		 →
↑
161.31 m
↓
↑
161.31 m
↓
N 58.119968°
W  7.954101°		 ← 161.31 m →
26 021 m²		 N 58.119968°
W  7.951355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477909088134766 y=0.300556182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477909088134766 × 217)
    floor (0.477909088134766 × 131072)
    floor (62640.5)     		tx = 62640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300556182861328 × 217)
    floor (0.300556182861328 × 131072)
    floor (39394.5)     		ty = 39394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62640 / 39394 ti = "17/62640/39394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62640/39394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62640 ÷ 217
    62640 ÷ 131072     		x = 0.4779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39394 ÷ 217
    39394 ÷ 131072     		y = 0.300552368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4779052734375 × 2 - 1) × π
    -0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300552368164062 × 2 - 1) × π
    0.398895263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25316642986751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13882526} λ = -0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25316642986751))-π/2
    2×atan(3.50141239970769)-π/2
    2×1.29260322423894-π/2
    2.58520644847788-1.57079632675     		φ = 1.01441012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01441012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.121419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62640 KachelY 39394 -0.13882526 1.01441012 -7.954101 58.121419
    Oben rechts KachelX + 1 62641 KachelY 39394 -0.13877732 1.01441012 -7.951355 58.121419
    Unten links KachelX 62640 KachelY + 1 39395 -0.13882526 1.01438480 -7.954101 58.119968
    Unten rechts KachelX + 1 62641 KachelY + 1 39395 -0.13877732 1.01438480 -7.951355 58.119968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01441012-1.01438480) × R
    2.53199999999953e-05 × 6371000     		dl = 161.31371999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01441012-1.01438480) × R
    2.53199999999953e-05 × 6371000     		dr = 161.31371999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13882526--0.13877732) × cos(1.01441012) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528120931312329 × 6371000     		do = 161.301726255545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13882526--0.13877732) × cos(1.01438480) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528142432106461 × 6371000     		du = 161.308293151503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01441012)-sin(1.01438480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528120931312329-0.528142432106461)×R²
    abs(-0.13877732--0.13882526)×2.15007941315459e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15007941315459e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15007941315459e-05×40589641000000     		ar = 26020.711171377m²