Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62636 / 39395
↖ ↑ ↗
← N 58.119968°
W  7.965088°		 ← 161.31 m → N 58.119968°
W  7.962341°		 →
↑
161.25 m
↓
↑
161.25 m
↓
N 58.118518°
W  7.965088°		 ← 161.31 m →
26 011 m²		 N 58.118518°
W  7.962341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477878570556641 y=0.300563812255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477878570556641 × 217)
    floor (0.477878570556641 × 131072)
    floor (62636.5)     		tx = 62636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300563812255859 × 217)
    floor (0.300563812255859 × 131072)
    floor (39395.5)     		ty = 39395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62636 / 39395 ti = "17/62636/39395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62636/39395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62636 ÷ 217
    62636 ÷ 131072     		x = 0.477874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39395 ÷ 217
    39395 ÷ 131072     		y = 0.300559997558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.04425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13901701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300559997558594 × 2 - 1) × π
    0.398880004882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.25311849296789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13901701} λ = -0.13901701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25311849296789))-π/2
    2×atan(3.50124455687592)-π/2
    2×1.2925905657413-π/2
    2.5851811314826-1.57079632675     		φ = 1.01438480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13901701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01438480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.119968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62636 KachelY 39395 -0.13901701 1.01438480 -7.965088 58.119968
    Oben rechts KachelX + 1 62637 KachelY 39395 -0.13896907 1.01438480 -7.962341 58.119968
    Unten links KachelX 62636 KachelY + 1 39396 -0.13901701 1.01435949 -7.965088 58.118518
    Unten rechts KachelX + 1 62637 KachelY + 1 39396 -0.13896907 1.01435949 -7.962341 58.118518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01438480-1.01435949) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dl = 161.250010000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01438480-1.01435949) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dr = 161.250010000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13901701--0.13896907) × cos(1.01438480) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528142432106461 × 6371000     		do = 161.308293151503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13901701--0.13896907) × cos(1.01435949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528163924070575 × 6371000     		du = 161.314857350547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01438480)-sin(1.01435949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528142432106461-0.528163924070575)×R²
    abs(-0.13896907--0.13901701)×2.14919641139399e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14919641139399e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14919641139399e-05×40589641000000     		ar = 26011.4931237606m²