Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62635 / 30249
↖ ↑ ↗
← N 69.122464°
W  7.967835°		 ← 108.85 m → N 69.122464°
W  7.965088°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.121485°
W  7.967835°		 ← 108.85 m →
11 844 m²		 N 69.121485°
W  7.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477870941162109 y=0.230785369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477870941162109 × 217)
    floor (0.477870941162109 × 131072)
    floor (62635.5)     		tx = 62635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230785369873047 × 217)
    floor (0.230785369873047 × 131072)
    floor (30249.5)     		ty = 30249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62635 / 30249 ti = "17/62635/30249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62635/30249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62635 ÷ 217
    62635 ÷ 131072     		x = 0.477867126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30249 ÷ 217
    30249 ÷ 131072     		y = 0.230781555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477867126464844 × 2 - 1) × π
    -0.0442657470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.13906495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230781555175781 × 2 - 1) × π
    0.538436889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.69154937689292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13906495} λ = -0.13906495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69154937689292))-π/2
    2×atan(5.42788403158622)-π/2
    2×1.3886054533095-π/2
    2.777210906619-1.57079632675     		φ = 1.20641458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13906495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.967835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20641458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.122464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62635 KachelY 30249 -0.13906495 1.20641458 -7.967835 69.122464
    Oben rechts KachelX + 1 62636 KachelY 30249 -0.13901701 1.20641458 -7.965088 69.122464
    Unten links KachelX 62635 KachelY + 1 30250 -0.13906495 1.20639750 -7.967835 69.121485
    Unten rechts KachelX + 1 62636 KachelY + 1 30250 -0.13901701 1.20639750 -7.965088 69.121485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20641458-1.20639750) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20641458-1.20639750) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13906495--0.13901701) × cos(1.20641458) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.356371701284784 × 6371000     		do = 108.845090579956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13906495--0.13901701) × cos(1.20639750) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.356387659832893 × 6371000     		du = 108.849964731321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20641458)-sin(1.20639750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356371701284784-0.356387659832893)×R²
    abs(-0.13901701--0.13906495)×1.59585481093738e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.59585481093738e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.59585481093738e-05×40589641000000     		ar = 11844.4265859679m²