Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62633 / 31705
↖ ↑ ↗
← N 67.649989°
W  7.973328°		 ← 116.14 m → N 67.649989°
W  7.970581°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 67.648944°
W  7.973328°		 ← 116.15 m →
13 489 m²		 N 67.648944°
W  7.970581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477855682373047 y=0.241893768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477855682373047 × 217)
    floor (0.477855682373047 × 131072)
    floor (62633.5)     		tx = 62633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241893768310547 × 217)
    floor (0.241893768310547 × 131072)
    floor (31705.5)     		ty = 31705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62633 / 31705 ti = "17/62633/31705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62633/31705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62633 ÷ 217
    62633 ÷ 131072     		x = 0.477851867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31705 ÷ 217
    31705 ÷ 131072     		y = 0.241889953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477851867675781 × 2 - 1) × π
    -0.0442962646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13916082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241889953613281 × 2 - 1) × π
    0.516220092773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.62175325104612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13916082} λ = -0.13916082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62175325104612))-π/2
    2×atan(5.06195742330823)-π/2
    2×1.37575568181008-π/2
    2.75151136362015-1.57079632675     		φ = 1.18071504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13916082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.973328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18071504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.649989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62633 KachelY 31705 -0.13916082 1.18071504 -7.973328 67.649989
    Oben rechts KachelX + 1 62634 KachelY 31705 -0.13911288 1.18071504 -7.970581 67.649989
    Unten links KachelX 62633 KachelY + 1 31706 -0.13916082 1.18069681 -7.973328 67.648944
    Unten rechts KachelX + 1 62634 KachelY + 1 31706 -0.13911288 1.18069681 -7.970581 67.648944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18071504-1.18069681) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18071504-1.18069681) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13916082--0.13911288) × cos(1.18071504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.38026359676007 × 6371000     		do = 116.142290435497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13916082--0.13911288) × cos(1.18069681) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.380280457225602 × 6371000     		du = 116.147440055659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18071504)-sin(1.18069681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38026359676007-0.380280457225602)×R²
    abs(-0.13911288--0.13916082)×1.68604655321758e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.68604655321758e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.68604655321758e-05×40589641000000     		ar = 13489.4514123497m²