Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62632 / 33655
↖ ↑ ↗
← N 65.523207°
W  7.976074°		 ← 126.55 m → N 65.523207°
W  7.973328°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
N 65.522069°
W  7.976074°		 ← 126.55 m →
16 012 m²		 N 65.522069°
W  7.973328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477848052978516 y=0.256771087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477848052978516 × 217)
    floor (0.477848052978516 × 131072)
    floor (62632.5)     		tx = 62632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256771087646484 × 217)
    floor (0.256771087646484 × 131072)
    floor (33655.5)     		ty = 33655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62632 / 33655 ti = "17/62632/33655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62632/33655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62632 ÷ 217
    62632 ÷ 131072     		x = 0.47784423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33655 ÷ 217
    33655 ÷ 131072     		y = 0.256767272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47784423828125 × 2 - 1) × π
    -0.0443115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13920876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256767272949219 × 2 - 1) × π
    0.486465454101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.52827629678701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13920876} λ = -0.13920876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52827629678701))-π/2
    2×atan(4.61022331278724)-π/2
    2×1.35719600705893-π/2
    2.71439201411787-1.57079632675     		φ = 1.14359569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13920876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14359569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.523207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62632 KachelY 33655 -0.13920876 1.14359569 -7.976074 65.523207
    Oben rechts KachelX + 1 62633 KachelY 33655 -0.13916082 1.14359569 -7.973328 65.523207
    Unten links KachelX 62632 KachelY + 1 33656 -0.13920876 1.14357583 -7.976074 65.522069
    Unten rechts KachelX + 1 62633 KachelY + 1 33656 -0.13916082 1.14357583 -7.973328 65.522069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14359569-1.14357583) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dl = 126.528059999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14359569-1.14357583) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dr = 126.528059999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13920876--0.13916082) × cos(1.14359569) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414324647088933 × 6371000     		do = 126.545411937366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13920876--0.13916082) × cos(1.14357583) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		du = 126.550932533088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14359569)-sin(1.14357583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414324647088933-0.414342722172328)×R²
    abs(-0.13916082--0.13920876)×1.8075083395741e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8075083395741e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8075083395741e-05×40589641000000     		ar = 16011.8947297666m²