Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62631 / 31703
↖ ↑ ↗
← N 67.652077°
W  7.978821°		 ← 116.11 m → N 67.652077°
W  7.976074°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
N 67.651033°
W  7.978821°		 ← 116.11 m →
13 478 m²		 N 67.651033°
W  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477840423583984 y=0.241878509521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477840423583984 × 217)
    floor (0.477840423583984 × 131072)
    floor (62631.5)     		tx = 62631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241878509521484 × 217)
    floor (0.241878509521484 × 131072)
    floor (31703.5)     		ty = 31703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62631 / 31703 ti = "17/62631/31703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62631/31703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62631 ÷ 217
    62631 ÷ 131072     		x = 0.477836608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31703 ÷ 217
    31703 ÷ 131072     		y = 0.241874694824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477836608886719 × 2 - 1) × π
    -0.0443267822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13925669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241874694824219 × 2 - 1) × π
    0.516250610351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.62184912484536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13925669} λ = -0.13925669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62184912484536))-π/2
    2×atan(5.06244275566295)-π/2
    2×1.37577390965992-π/2
    2.75154781931985-1.57079632675     		φ = 1.18075149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13925669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.978821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18075149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.652077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62631 KachelY 31703 -0.13925669 1.18075149 -7.978821 67.652077
    Oben rechts KachelX + 1 62632 KachelY 31703 -0.13920876 1.18075149 -7.976074 67.652077
    Unten links KachelX 62631 KachelY + 1 31704 -0.13925669 1.18073327 -7.978821 67.651033
    Unten rechts KachelX + 1 62632 KachelY + 1 31704 -0.13920876 1.18073327 -7.976074 67.651033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18075149-1.18073327) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18075149-1.18073327) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13925669--0.13920876) × cos(1.18075149) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.380229884698809 × 6371000     		do = 116.107769458298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13925669--0.13920876) × cos(1.18073327) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.380246736168163 × 6371000     		du = 116.112915257189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18075149)-sin(1.18073327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380229884698809-0.380246736168163)×R²
    abs(-0.13920876--0.13925669)×1.68514693546506e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.68514693546506e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.68514693546506e-05×40589641000000     		ar = 13478.0444195426m²