Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62630 / 39563
↖ ↑ ↗
← N 57.875435°
W  7.981567°		 ← 162.41 m → N 57.875435°
W  7.978821°		 →
↑
162.40 m
↓
↑
162.40 m
↓
N 57.873975°
W  7.981567°		 ← 162.42 m →
26 376 m²		 N 57.873975°
W  7.978821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477832794189453 y=0.301845550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477832794189453 × 217)
    floor (0.477832794189453 × 131072)
    floor (62630.5)     		tx = 62630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301845550537109 × 217)
    floor (0.301845550537109 × 131072)
    floor (39563.5)     		ty = 39563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62630 / 39563 ti = "17/62630/39563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62630/39563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62630 ÷ 217
    62630 ÷ 131072     		x = 0.477828979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39563 ÷ 217
    39563 ÷ 131072     		y = 0.301841735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477828979492188 × 2 - 1) × π
    -0.044342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13930463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301841735839844 × 2 - 1) × π
    0.396316528320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.24506509383172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13930463} λ = -0.13930463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24506509383172))-π/2
    2×atan(3.47316087332815)-π/2
    2×1.29045661300113-π/2
    2.58091322600225-1.57079632675     		φ = 1.01011690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13930463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.981567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01011690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.875435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62630 KachelY 39563 -0.13930463 1.01011690 -7.981567 57.875435
    Oben rechts KachelX + 1 62631 KachelY 39563 -0.13925669 1.01011690 -7.978821 57.875435
    Unten links KachelX 62630 KachelY + 1 39564 -0.13930463 1.01009141 -7.981567 57.873975
    Unten rechts KachelX + 1 62631 KachelY + 1 39564 -0.13925669 1.01009141 -7.978821 57.873975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01011690-1.01009141) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dl = 162.396790000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01011690-1.01009141) × R
    2.54900000000724e-05 × 6371000     		dr = 162.396790000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13930463--0.13925669) × cos(1.01011690) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531761723097844 × 6371000     		do = 162.413717780916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13930463--0.13925669) × cos(1.01009141) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.531783310253489 × 6371000     		du = 162.420311053903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01011690)-sin(1.01009141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531761723097844-0.531783310253489)×R²
    abs(-0.13925669--0.13930463)×2.15871556445979e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15871556445979e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15871556445979e-05×40589641000000     		ar = 26376.00178426m²