Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6263 / 6370
↖ ↑ ↗
← S 70.170201°
E 95.229492°		 ← 1 657.63 m → S 70.170201°
E 95.273437°		 →
↑
1 657.03 m
↓
↑
1 657.03 m
↓
S 70.185103°
E 95.229492°		 ← 1 656.44 m →
2 745 760 m²		 S 70.185103°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76458740234375 y=0.77764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76458740234375 × 213)
    floor (0.76458740234375 × 8192)
    floor (6263.5)     		tx = 6263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77764892578125 × 213)
    floor (0.77764892578125 × 8192)
    floor (6370.5)     		ty = 6370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6263 / 6370 ti = "13/6263/6370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6263/6370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6263 ÷ 213
    6263 ÷ 8192     		x = 0.7645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6370 ÷ 213
    6370 ÷ 8192     		y = 0.777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    0.529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66206818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.55517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74413615577612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66206818} λ = 1.66206818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74413615577612))-π/2
    2×atan(0.174795920212916)-π/2
    2×0.173047644032394-π/2
    0.346095288064789-1.57079632675     		φ = -1.22470104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66206818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22470104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.170201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6263 KachelY 6370 1.66206818 -1.22470104 95.229492 -70.170201
    Oben rechts KachelX + 1 6264 KachelY 6370 1.66283517 -1.22470104 95.273437 -70.170201
    Unten links KachelX 6263 KachelY + 1 6371 1.66206818 -1.22496113 95.229492 -70.185103
    Unten rechts KachelX + 1 6264 KachelY + 1 6371 1.66283517 -1.22496113 95.273437 -70.185103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22470104--1.22496113) × R
    0.000260090000000046 × 6371000     		dl = 1657.03339000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22470104--1.22496113) × R
    0.000260090000000046 × 6371000     		dr = 1657.03339000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66206818-1.66283517) × cos(-1.22470104) × R
    0.000766990000000023 × 0.339227221698606 × 6371000     		do = 1657.63154261563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66206818-1.66283517) × cos(-1.22496113) × R
    0.000766990000000023 × 0.338982542403024 × 6371000     		du = 1656.43591887957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22470104)-sin(-1.22496113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339227221698606-0.338982542403024)×R²
    abs(1.66283517-1.66206818)×0.000244679295582195×R²
    0.000766990000000023×0.000244679295582195×6371000²
    0.000766990000000023×0.000244679295582195×40589641000000     		ar = 2745760.23568478m²