Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62629 / 39392
↖ ↑ ↗
← N 58.124319°
W  7.984314°		 ← 161.29 m → N 58.124319°
W  7.981567°		 →
↑
161.25 m
↓
↑
161.25 m
↓
N 58.122869°
W  7.984314°		 ← 161.30 m →
26 008 m²		 N 58.122869°
W  7.981567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477825164794922 y=0.300540924072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477825164794922 × 217)
    floor (0.477825164794922 × 131072)
    floor (62629.5)     		tx = 62629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300540924072266 × 217)
    floor (0.300540924072266 × 131072)
    floor (39392.5)     		ty = 39392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62629 / 39392 ti = "17/62629/39392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62629/39392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62629 ÷ 217
    62629 ÷ 131072     		x = 0.477821350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39392 ÷ 217
    39392 ÷ 131072     		y = 0.300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477821350097656 × 2 - 1) × π
    -0.0443572998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13935257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300537109375 × 2 - 1) × π
    0.39892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25326230366675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13935257} λ = -0.13935257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25326230366675))-π/2
    2×atan(3.50174810950979)-π/2
    2×1.29262853968841-π/2
    2.58525707937683-1.57079632675     		φ = 1.01446075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13935257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.984314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01446075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.124319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62629 KachelY 39392 -0.13935257 1.01446075 -7.984314 58.124319
    Oben rechts KachelX + 1 62630 KachelY 39392 -0.13930463 1.01446075 -7.981567 58.124319
    Unten links KachelX 62629 KachelY + 1 39393 -0.13935257 1.01443544 -7.984314 58.122869
    Unten rechts KachelX + 1 62630 KachelY + 1 39393 -0.13930463 1.01443544 -7.981567 58.122869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01446075-1.01443544) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dl = 161.250010000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01446075-1.01443544) × R
    2.53100000000561e-05 × 6371000     		dr = 161.250010000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13935257--0.13930463) × cos(1.01446075) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5280779372003 × 6371000     		do = 161.288594747063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13935257--0.13930463) × cos(1.01443544) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.528099430179618 × 6371000     		du = 161.295159256176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01446075)-sin(1.01443544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5280779372003-0.528099430179618)×R²
    abs(-0.13930463--0.13935257)×2.14929793178609e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14929793178609e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14929793178609e-05×40589641000000     		ar = 26008.3167810142m²