Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62626 / 33666
↖ ↑ ↗
← N 65.510686°
W  7.992554°		 ← 126.61 m → N 65.510686°
W  7.989807°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
N 65.509547°
W  7.992554°		 ← 126.61 m →
16 028 m²		 N 65.509547°
W  7.989807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477802276611328 y=0.256855010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477802276611328 × 217)
    floor (0.477802276611328 × 131072)
    floor (62626.5)     		tx = 62626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256855010986328 × 217)
    floor (0.256855010986328 × 131072)
    floor (33666.5)     		ty = 33666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62626 / 33666 ti = "17/62626/33666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62626/33666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62626 ÷ 217
    62626 ÷ 131072     		x = 0.477798461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33666 ÷ 217
    33666 ÷ 131072     		y = 0.256851196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477798461914062 × 2 - 1) × π
    -0.044403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13949638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256851196289062 × 2 - 1) × π
    0.486297607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.52774899089119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13949638} λ = -0.13949638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52774899089119))-π/2
    2×atan(4.60779295568048)-π/2
    2×1.35708674292783-π/2
    2.71417348585566-1.57079632675     		φ = 1.14337716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13949638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.992554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14337716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.510686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62626 KachelY 33666 -0.13949638 1.14337716 -7.992554 65.510686
    Oben rechts KachelX + 1 62627 KachelY 33666 -0.13944844 1.14337716 -7.989807 65.510686
    Unten links KachelX 62626 KachelY + 1 33667 -0.13949638 1.14335729 -7.992554 65.509547
    Unten rechts KachelX + 1 62627 KachelY + 1 33667 -0.13944844 1.14335729 -7.989807 65.509547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14337716-1.14335729) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14337716-1.14335729) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13949638--0.13944844) × cos(1.14337716) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414523527719445 × 6371000     		do = 126.606155201112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13949638--0.13944844) × cos(1.14335729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414541610104502 × 6371000     		du = 126.611678026949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14337716)-sin(1.14335729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414523527719445-0.414541610104502)×R²
    abs(-0.13944844--0.13949638)×1.80823850573497e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80823850573497e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80823850573497e-05×40589641000000     		ar = 16027.6468525043m²