Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62624 / 31521
↖ ↑ ↗
← N 67.841381°
W  7.998047°		 ← 115.20 m → N 67.841381°
W  7.995300°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
N 67.840345°
W  7.998047°		 ← 115.20 m →
13 270 m²		 N 67.840345°
W  7.995300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477787017822266 y=0.240489959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477787017822266 × 217)
    floor (0.477787017822266 × 131072)
    floor (62624.5)     		tx = 62624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240489959716797 × 217)
    floor (0.240489959716797 × 131072)
    floor (31521.5)     		ty = 31521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62624 / 31521 ti = "17/62624/31521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62624/31521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62624 ÷ 217
    62624 ÷ 131072     		x = 0.477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31521 ÷ 217
    31521 ÷ 131072     		y = 0.240486145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.04443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13959225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240486145019531 × 2 - 1) × π
    0.519027709960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.63057364057621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13959225} λ = -0.13959225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63057364057621))-π/2
    2×atan(5.10680334808123)-π/2
    2×1.37742589334517-π/2
    2.75485178669035-1.57079632675     		φ = 1.18405546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13959225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18405546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.841381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62624 KachelY 31521 -0.13959225 1.18405546 -7.998047 67.841381
    Oben rechts KachelX + 1 62625 KachelY 31521 -0.13954431 1.18405546 -7.995300 67.841381
    Unten links KachelX 62624 KachelY + 1 31522 -0.13959225 1.18403738 -7.998047 67.840345
    Unten rechts KachelX + 1 62625 KachelY + 1 31522 -0.13954431 1.18403738 -7.995300 67.840345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18405546-1.18403738) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18405546-1.18403738) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13959225--0.13954431) × cos(1.18405546) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.377171999461709 × 6371000     		do = 115.198037042863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13959225--0.13954431) × cos(1.18403738) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.377188744069664 × 6371000     		du = 115.203151277139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18405546)-sin(1.18403738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377171999461709-0.377188744069664)×R²
    abs(-0.13954431--0.13959225)×1.67446079546996e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.67446079546996e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.67446079546996e-05×40589641000000     		ar = 13269.6891762248m²