Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62621 / 33627
↖ ↑ ↗
← N 65.555050°
W  8.006286°		 ← 126.36 m → N 65.555050°
W  8.003540°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
N 65.553914°
W  8.006286°		 ← 126.37 m →
15 973 m²		 N 65.553914°
W  8.003540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477764129638672 y=0.256557464599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477764129638672 × 217)
    floor (0.477764129638672 × 131072)
    floor (62621.5)     		tx = 62621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256557464599609 × 217)
    floor (0.256557464599609 × 131072)
    floor (33627.5)     		ty = 33627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62621 / 33627 ti = "17/62621/33627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62621/33627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62621 ÷ 217
    62621 ÷ 131072     		x = 0.477760314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33627 ÷ 217
    33627 ÷ 131072     		y = 0.256553649902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477760314941406 × 2 - 1) × π
    -0.0444793701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.13973606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256553649902344 × 2 - 1) × π
    0.486892700195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.52961852997637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13973606} λ = -0.13973606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52961852997637))-π/2
    2×atan(4.61641546225265)-π/2
    2×1.35747389742173-π/2
    2.71494779484346-1.57079632675     		φ = 1.14415147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13973606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.006286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14415147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.555050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62621 KachelY 33627 -0.13973606 1.14415147 -8.006286 65.555050
    Oben rechts KachelX + 1 62622 KachelY 33627 -0.13968813 1.14415147 -8.003540 65.555050
    Unten links KachelX 62621 KachelY + 1 33628 -0.13973606 1.14413163 -8.006286 65.553914
    Unten rechts KachelX + 1 62622 KachelY + 1 33628 -0.13968813 1.14413163 -8.003540 65.553914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14415147-1.14413163) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14415147-1.14413163) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13973606--0.13968813) × cos(1.14415147) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.413818751540095 × 6371000     		do = 126.364534022353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13973606--0.13968813) × cos(1.14413163) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.413836812987006 × 6371000     		du = 126.370049302447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14415147)-sin(1.14413163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413818751540095-0.413836812987006)×R²
    abs(-0.13968813--0.13973606)×1.80614469110219e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.80614469110219e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.80614469110219e-05×40589641000000     		ar = 15972.9065415854m²