Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6262 / 6359
↖ ↑ ↗
← S 70.005566°
E 95.185547°		 ← 1 670.83 m → S 70.005566°
E 95.229492°		 →
↑
1 670.22 m
↓
↑
1 670.22 m
↓
S 70.020587°
E 95.185547°		 ← 1 669.63 m →
2 789 656 m²		 S 70.020587°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76446533203125 y=0.77630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76446533203125 × 213)
    floor (0.76446533203125 × 8192)
    floor (6262.5)     		tx = 6262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77630615234375 × 213)
    floor (0.77630615234375 × 8192)
    floor (6359.5)     		ty = 6359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6262 / 6359 ti = "13/6262/6359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6262/6359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6262 ÷ 213
    6262 ÷ 8192     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6359 ÷ 213
    6359 ÷ 8192     		y = 0.7762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73569926144299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73569926144299))-π/2
    2×atan(0.176276893544593)-π/2
    2×0.174484347932308-π/2
    0.348968695864615-1.57079632675     		φ = -1.22182763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22182763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.005566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6262 KachelY 6359 1.66130119 -1.22182763 95.185547 -70.005566
    Oben rechts KachelX + 1 6263 KachelY 6359 1.66206818 -1.22182763 95.229492 -70.005566
    Unten links KachelX 6262 KachelY + 1 6360 1.66130119 -1.22208979 95.185547 -70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 6263 KachelY + 1 6360 1.66206818 -1.22208979 95.229492 -70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22182763--1.22208979) × R
    0.000262160000000122 × 6371000     		dl = 1670.22136000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22182763--1.22208979) × R
    0.000262160000000122 × 6371000     		dr = 1670.22136000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66206818) × cos(-1.22182763) × R
    0.000766989999999801 × 0.341928847186946 × 6371000     		do = 1670.83301743601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66206818) × cos(-1.22208979) × R
    0.000766989999999801 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 1669.62913074193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22182763)-sin(-1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341928847186946-0.341682476912264)×R²
    abs(1.66206818-1.66130119)×0.00024637027468144×R²
    0.000766989999999801×0.00024637027468144×6371000²
    0.000766989999999801×0.00024637027468144×40589641000000     		ar = 2789655.6320566m²