Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6262 / 6042
↖ ↑ ↗
← S 64.661518°
E 95.185547°		 ← 2 091.25 m → S 64.661518°
E 95.229492°		 →
↑
2 090.52 m
↓
↑
2 090.52 m
↓
S 64.680318°
E 95.185547°		 ← 2 089.80 m →
4 370 273 m²		 S 64.680318°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76446533203125 y=0.73760986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76446533203125 × 213)
    floor (0.76446533203125 × 8192)
    floor (6262.5)     		tx = 6262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73760986328125 × 213)
    floor (0.73760986328125 × 8192)
    floor (6042.5)     		ty = 6042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6262 / 6042 ti = "13/6262/6042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6262/6042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6262 ÷ 213
    6262 ÷ 8192     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6042 ÷ 213
    6042 ÷ 8192     		y = 0.737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.47509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49256330657007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49256330657007))-π/2
    2×atan(0.224795696108642)-π/2
    2×0.221119974456626-π/2
    0.442239948913251-1.57079632675     		φ = -1.12855638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12855638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.661518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6262 KachelY 6042 1.66130119 -1.12855638 95.185547 -64.661518
    Oben rechts KachelX + 1 6263 KachelY 6042 1.66206818 -1.12855638 95.229492 -64.661518
    Unten links KachelX 6262 KachelY + 1 6043 1.66130119 -1.12888451 95.185547 -64.680318
    Unten rechts KachelX + 1 6263 KachelY + 1 6043 1.66206818 -1.12888451 95.229492 -64.680318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12855638--1.12888451) × R
    0.000328129999999982 × 6371000     		dl = 2090.51622999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12855638--1.12888451) × R
    0.000328129999999982 × 6371000     		dr = 2090.51622999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66206818) × cos(-1.12855638) × R
    0.000766989999999801 × 0.427964990413793 × 6371000     		do = 2091.24805401137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66206818) × cos(-1.12888451) × R
    0.000766989999999801 × 0.427668405023864 × 6371000     		du = 2089.79879149357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12855638)-sin(-1.12888451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427964990413793-0.427668405023864)×R²
    abs(1.66206818-1.66130119)×0.000296585389928494×R²
    0.000766989999999801×0.000296585389928494×6371000²
    0.000766989999999801×0.000296585389928494×40589641000000     		ar = 4370273.18367128m²