Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62617 / 78919
↖ ↑ ↗
← S 34.468071°
W  8.017273°		 ← 251.81 m → S 34.468071°
W  8.014526°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 34.470335°
W  8.017273°		 ← 251.80 m →
63 399 m²		 S 34.470335°
W  8.014526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477733612060547 y=0.602108001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477733612060547 × 217)
    floor (0.477733612060547 × 131072)
    floor (62617.5)     		tx = 62617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602108001708984 × 217)
    floor (0.602108001708984 × 131072)
    floor (78919.5)     		ty = 78919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62617 / 78919 ti = "17/62617/78919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62617/78919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62617 ÷ 217
    62617 ÷ 131072     		x = 0.477729797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78919 ÷ 217
    78919 ÷ 131072     		y = 0.602104187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477729797363281 × 2 - 1) × π
    -0.0445404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13992781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602104187011719 × 2 - 1) × π
    -0.204208374023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.641539527615211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13992781} λ = -0.13992781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641539527615211))-π/2
    2×atan(0.526481267354217)-π/2
    2×0.484607502660971-π/2
    0.969215005321942-1.57079632675     		φ = -0.60158132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13992781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.017273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60158132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.468071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62617 KachelY 78919 -0.13992781 -0.60158132 -8.017273 -34.468071
    Oben rechts KachelX + 1 62618 KachelY 78919 -0.13987987 -0.60158132 -8.014526 -34.468071
    Unten links KachelX 62617 KachelY + 1 78920 -0.13992781 -0.60162084 -8.017273 -34.470335
    Unten rechts KachelX + 1 62618 KachelY + 1 78920 -0.13987987 -0.60162084 -8.014526 -34.470335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60158132--0.60162084) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dl = 251.78192000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60158132--0.60162084) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dr = 251.78192000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13992781--0.13987987) × cos(-0.60158132) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824441702940029 × 6371000     		do = 251.805717207445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13992781--0.13987987) × cos(-0.60162084) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.824419336075258 × 6371000     		du = 251.798885791221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60158132)-sin(-0.60162084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.824441702940029-0.824419336075258)×R²
    abs(-0.13987987--0.13992781)×2.23668647717501e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.23668647717501e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.23668647717501e-05×40589641000000     		ar = 63399.2669402233m²