Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62617 / 39639
↖ ↑ ↗
← N 57.764264°
W  8.017273°		 ← 162.92 m → N 57.764264°
W  8.014526°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
N 57.762799°
W  8.017273°		 ← 162.92 m →
26 540 m²		 N 57.762799°
W  8.014526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477733612060547 y=0.302425384521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477733612060547 × 217)
    floor (0.477733612060547 × 131072)
    floor (62617.5)     		tx = 62617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302425384521484 × 217)
    floor (0.302425384521484 × 131072)
    floor (39639.5)     		ty = 39639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62617 / 39639 ti = "17/62617/39639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62617/39639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62617 ÷ 217
    62617 ÷ 131072     		x = 0.477729797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39639 ÷ 217
    39639 ÷ 131072     		y = 0.302421569824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477729797363281 × 2 - 1) × π
    -0.0445404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13992781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302421569824219 × 2 - 1) × π
    0.395156860351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24142188946059
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13992781} λ = -0.13992781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24142188946059))-π/2
    2×atan(3.46053046001155)-π/2
    2×1.28948645940005-π/2
    2.5789729188001-1.57079632675     		φ = 1.00817659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13992781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.017273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00817659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.764264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62617 KachelY 39639 -0.13992781 1.00817659 -8.017273 57.764264
    Oben rechts KachelX + 1 62618 KachelY 39639 -0.13987987 1.00817659 -8.014526 57.764264
    Unten links KachelX 62617 KachelY + 1 39640 -0.13992781 1.00815102 -8.017273 57.762799
    Unten rechts KachelX + 1 62618 KachelY + 1 39640 -0.13987987 1.00815102 -8.014526 57.762799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00817659-1.00815102) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dl = 162.906470000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00817659-1.00815102) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dr = 162.906470000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13992781--0.13987987) × cos(1.00817659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533403958001087 × 6371000     		do = 162.915298591493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13992781--0.13987987) × cos(1.00815102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533425586483202 × 6371000     		du = 162.921904486648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00817659)-sin(1.00815102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533403958001087-0.533425586483202)×R²
    abs(-0.13987987--0.13992781)×2.16284821148438e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16284821148438e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16284821148438e-05×40589641000000     		ar = 26540.4942754888m²