Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62617 / 25481
↖ ↑ ↗
← N 73.320765°
W  8.017273°		 ← 87.66 m → N 73.320765°
W  8.014526°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
N 73.319977°
W  8.017273°		 ← 87.67 m →
7 685 m²		 N 73.319977°
W  8.014526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477733612060547 y=0.194408416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477733612060547 × 217)
    floor (0.477733612060547 × 131072)
    floor (62617.5)     		tx = 62617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194408416748047 × 217)
    floor (0.194408416748047 × 131072)
    floor (25481.5)     		ty = 25481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62617 / 25481 ti = "17/62617/25481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62617/25481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62617 ÷ 217
    62617 ÷ 131072     		x = 0.477729797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25481 ÷ 217
    25481 ÷ 131072     		y = 0.194404602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477729797363281 × 2 - 1) × π
    -0.0445404052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.13992781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194404602050781 × 2 - 1) × π
    0.611190795898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.92011251428135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13992781} λ = -0.13992781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92011251428135))-π/2
    2×atan(6.82172596770749)-π/2
    2×1.42524254141746-π/2
    2.85048508283492-1.57079632675     		φ = 1.27968876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13992781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.017273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27968876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.320765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62617 KachelY 25481 -0.13992781 1.27968876 -8.017273 73.320765
    Oben rechts KachelX + 1 62618 KachelY 25481 -0.13987987 1.27968876 -8.014526 73.320765
    Unten links KachelX 62617 KachelY + 1 25482 -0.13992781 1.27967500 -8.017273 73.319977
    Unten rechts KachelX + 1 62618 KachelY + 1 25482 -0.13987987 1.27967500 -8.014526 73.319977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27968876-1.27967500) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dl = 87.6649600005404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27968876-1.27967500) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dr = 87.6649600005404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13992781--0.13987987) × cos(1.27968876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.287013368596398 × 6371000     		do = 87.6612704934918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13992781--0.13987987) × cos(1.27967500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.287026549638922 × 6371000     		du = 87.6652963231584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27968876)-sin(1.27967500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287013368596398-0.287026549638922)×R²
    abs(-0.13987987--0.13992781)×1.31810425231249e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.31810425231249e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.31810425231249e-05×40589641000000     		ar = 7684.99823363257m²