Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62616 / 39545
↖ ↑ ↗
← N 57.901715°
W  8.020020°		 ← 162.30 m → N 57.901715°
W  8.017273°		 →
↑
162.27 m
↓
↑
162.27 m
↓
N 57.900256°
W  8.020020°		 ← 162.30 m →
26 336 m²		 N 57.900256°
W  8.017273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477725982666016 y=0.301708221435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477725982666016 × 217)
    floor (0.477725982666016 × 131072)
    floor (62616.5)     		tx = 62616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301708221435547 × 217)
    floor (0.301708221435547 × 131072)
    floor (39545.5)     		ty = 39545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62616 / 39545 ti = "17/62616/39545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62616/39545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62616 ÷ 217
    62616 ÷ 131072     		x = 0.47772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39545 ÷ 217
    39545 ÷ 131072     		y = 0.301704406738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301704406738281 × 2 - 1) × π
    0.396591186523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.24592795802488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.13997575} λ = -0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24592795802488))-π/2
    2×atan(3.47615903279904)-π/2
    2×1.29068594826435-π/2
    2.58137189652871-1.57079632675     		φ = 1.01057557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01057557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.901715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62616 KachelY 39545 -0.13997575 1.01057557 -8.020020 57.901715
    Oben rechts KachelX + 1 62617 KachelY 39545 -0.13992781 1.01057557 -8.017273 57.901715
    Unten links KachelX 62616 KachelY + 1 39546 -0.13997575 1.01055010 -8.020020 57.900256
    Unten rechts KachelX + 1 62617 KachelY + 1 39546 -0.13992781 1.01055010 -8.017273 57.900256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01057557-1.01055010) × R
    2.54700000001939e-05 × 6371000     		dl = 162.269370001236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01057557-1.01055010) × R
    2.54700000001939e-05 × 6371000     		dr = 162.269370001236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.13997575--0.13992781) × cos(1.01057557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531373222298833 × 6371000     		do = 162.295059636793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.13997575--0.13992781) × cos(1.01055010) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531394798726939 × 6371000     		du = 162.301649633314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01057557)-sin(1.01055010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531373222298833-0.531394798726939)×R²
    abs(-0.13992781--0.13997575)×2.15764281054076e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15764281054076e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15764281054076e-05×40589641000000     		ar = 26336.0517602533m²