Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62615 / 34043
↖ ↑ ↗
← N 65.077917°
W  8.022766°		 ← 128.68 m → N 65.077917°
W  8.020020°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
N 65.076760°
W  8.022766°		 ← 128.68 m →
16 560 m²		 N 65.076760°
W  8.020020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477718353271484 y=0.259731292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477718353271484 × 217)
    floor (0.477718353271484 × 131072)
    floor (62615.5)     		tx = 62615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259731292724609 × 217)
    floor (0.259731292724609 × 131072)
    floor (34043.5)     		ty = 34043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62615 / 34043 ti = "17/62615/34043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62615/34043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62615 ÷ 217
    62615 ÷ 131072     		x = 0.477714538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34043 ÷ 217
    34043 ÷ 131072     		y = 0.259727478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477714538574219 × 2 - 1) × π
    -0.0445709228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14002368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259727478027344 × 2 - 1) × π
    0.480545043945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.50967677973443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14002368} λ = -0.14002368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50967677973443))-π/2
    2×atan(4.52526789961609)-π/2
    2×1.35331012928718-π/2
    2.70662025857436-1.57079632675     		φ = 1.13582393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14002368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.022766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13582393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.077917°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62615 KachelY 34043 -0.14002368 1.13582393 -8.022766 65.077917
    Oben rechts KachelX + 1 62616 KachelY 34043 -0.13997575 1.13582393 -8.020020 65.077917
    Unten links KachelX 62615 KachelY + 1 34044 -0.14002368 1.13580373 -8.022766 65.076760
    Unten rechts KachelX + 1 62616 KachelY + 1 34044 -0.13997575 1.13580373 -8.020020 65.076760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13582393-1.13580373) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13582393-1.13580373) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14002368--0.13997575) × cos(1.13582393) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421385368686328 × 6371000     		do = 128.67509159436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14002368--0.13997575) × cos(1.13580373) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421403687610175 × 6371000     		du = 128.680685498133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13582393)-sin(1.13580373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421385368686328-0.421403687610175)×R²
    abs(-0.13997575--0.14002368)×1.83189238471826e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83189238471826e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83189238471826e-05×40589641000000     		ar = 16560.0979246332m²