Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62614 / 39579
↖ ↑ ↗
← N 57.852059°
W  8.025513°		 ← 162.52 m → N 57.852059°
W  8.022766°		 →
↑
162.52 m
↓
↑
162.52 m
↓
N 57.850597°
W  8.025513°		 ← 162.53 m →
26 414 m²		 N 57.850597°
W  8.022766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477710723876953 y=0.301967620849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477710723876953 × 217)
    floor (0.477710723876953 × 131072)
    floor (62614.5)     		tx = 62614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301967620849609 × 217)
    floor (0.301967620849609 × 131072)
    floor (39579.5)     		ty = 39579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62614 / 39579 ti = "17/62614/39579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62614/39579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62614 ÷ 217
    62614 ÷ 131072     		x = 0.477706909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39579 ÷ 217
    39579 ÷ 131072     		y = 0.301963806152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477706909179688 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14007162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301963806152344 × 2 - 1) × π
    0.396072387695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.2442981034378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14007162} λ = -0.14007162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2442981034378))-π/2
    2×atan(3.47049801362622)-π/2
    2×1.29025261869374-π/2
    2.58050523738747-1.57079632675     		φ = 1.00970891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14007162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00970891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.852059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62614 KachelY 39579 -0.14007162 1.00970891 -8.025513 57.852059
    Oben rechts KachelX + 1 62615 KachelY 39579 -0.14002368 1.00970891 -8.022766 57.852059
    Unten links KachelX 62614 KachelY + 1 39580 -0.14007162 1.00968340 -8.025513 57.850597
    Unten rechts KachelX + 1 62615 KachelY + 1 39580 -0.14002368 1.00968340 -8.022766 57.850597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00970891-1.00968340) × R
    2.55100000001729e-05 × 6371000     		dl = 162.524210001102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00970891-1.00968340) × R
    2.55100000001729e-05 × 6371000     		dr = 162.524210001102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14007162--0.14002368) × cos(1.00970891) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532107203119344 × 6371000     		do = 162.519236272043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14007162--0.14002368) × cos(1.00968340) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532128801676204 × 6371000     		du = 162.525833027255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00970891)-sin(1.00968340))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532107203119344-0.532128801676204)×R²
    abs(-0.14002368--0.14007162)×2.15985568604582e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15985568604582e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15985568604582e-05×40589641000000     		ar = 26413.8465526767m²