Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62614 / 39548
↖ ↑ ↗
← N 57.897336°
W  8.025513°		 ← 162.31 m → N 57.897336°
W  8.022766°		 →
↑
162.33 m
↓
↑
162.33 m
↓
N 57.895877°
W  8.025513°		 ← 162.32 m →
26 350 m²		 N 57.895877°
W  8.022766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477710723876953 y=0.301731109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477710723876953 × 217)
    floor (0.477710723876953 × 131072)
    floor (62614.5)     		tx = 62614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301731109619141 × 217)
    floor (0.301731109619141 × 131072)
    floor (39548.5)     		ty = 39548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62614 / 39548 ti = "17/62614/39548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62614/39548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62614 ÷ 217
    62614 ÷ 131072     		x = 0.477706909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39548 ÷ 217
    39548 ÷ 131072     		y = 0.301727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477706909179688 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14007162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301727294921875 × 2 - 1) × π
    0.39654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24578414732602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14007162} λ = -0.14007162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24578414732602))-π/2
    2×atan(3.47565915988359)-π/2
    2×1.29064773735963-π/2
    2.58129547471925-1.57079632675     		φ = 1.01049915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14007162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01049915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.897336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62614 KachelY 39548 -0.14007162 1.01049915 -8.025513 57.897336
    Oben rechts KachelX + 1 62615 KachelY 39548 -0.14002368 1.01049915 -8.022766 57.897336
    Unten links KachelX 62614 KachelY + 1 39549 -0.14007162 1.01047367 -8.025513 57.895877
    Unten rechts KachelX + 1 62615 KachelY + 1 39549 -0.14002368 1.01047367 -8.022766 57.895877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01049915-1.01047367) × R
    2.54799999999111e-05 × 6371000     		dl = 162.333079999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01049915-1.01047367) × R
    2.54799999999111e-05 × 6371000     		dr = 162.333079999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14007162--0.14002368) × cos(1.01049915) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531437959019927 × 6371000     		do = 162.314831897738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14007162--0.14002368) × cos(1.01047367) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531459542884511 × 6371000     		du = 162.321424165551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01049915)-sin(1.01047367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531437959019927-0.531459542884511)×R²
    abs(-0.14002368--0.14007162)×2.15838645839517e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15838645839517e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15838645839517e-05×40589641000000     		ar = 26349.6016645871m²