Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62614 / 31702
↖ ↑ ↗
← N 67.653122°
W  8.025513°		 ← 116.13 m → N 67.653122°
W  8.022766°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 67.652077°
W  8.025513°		 ← 116.13 m →
13 488 m²		 N 67.652077°
W  8.022766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477710723876953 y=0.241870880126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477710723876953 × 217)
    floor (0.477710723876953 × 131072)
    floor (62614.5)     		tx = 62614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241870880126953 × 217)
    floor (0.241870880126953 × 131072)
    floor (31702.5)     		ty = 31702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62614 / 31702 ti = "17/62614/31702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62614/31702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62614 ÷ 217
    62614 ÷ 131072     		x = 0.477706909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31702 ÷ 217
    31702 ÷ 131072     		y = 0.241867065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477706909179688 × 2 - 1) × π
    -0.044586181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14007162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241867065429688 × 2 - 1) × π
    0.516265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62189706174498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14007162} λ = -0.14007162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62189706174498))-π/2
    2×atan(5.06268543928987)-π/2
    2×1.37578302297875-π/2
    2.75156604595749-1.57079632675     		φ = 1.18076972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14007162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.025513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18076972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.653122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62614 KachelY 31702 -0.14007162 1.18076972 -8.025513 67.653122
    Oben rechts KachelX + 1 62615 KachelY 31702 -0.14002368 1.18076972 -8.022766 67.653122
    Unten links KachelX 62614 KachelY + 1 31703 -0.14007162 1.18075149 -8.025513 67.652077
    Unten rechts KachelX + 1 62615 KachelY + 1 31703 -0.14002368 1.18075149 -8.022766 67.652077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18076972-1.18075149) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18076972-1.18075149) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14007162--0.14002368) × cos(1.18076972) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.38021302385424 × 6371000     		do = 116.12684416831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14007162--0.14002368) × cos(1.18075149) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.380229884698809 × 6371000     		du = 116.131993904239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18076972)-sin(1.18075149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38021302385424-0.380229884698809)×R²
    abs(-0.14002368--0.14007162)×1.68608445683671e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.68608445683671e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.68608445683671e-05×40589641000000     		ar = 13487.657438133m²