Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62613 / 39549
↖ ↑ ↗
← N 57.895877°
W  8.028259°		 ← 162.32 m → N 57.895877°
W  8.025513°		 →
↑
162.33 m
↓
↑
162.33 m
↓
N 57.894417°
W  8.028259°		 ← 162.33 m →
26 351 m²		 N 57.894417°
W  8.025513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477703094482422 y=0.301738739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477703094482422 × 217)
    floor (0.477703094482422 × 131072)
    floor (62613.5)     		tx = 62613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301738739013672 × 217)
    floor (0.301738739013672 × 131072)
    floor (39549.5)     		ty = 39549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62613 / 39549 ti = "17/62613/39549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62613/39549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62613 ÷ 217
    62613 ÷ 131072     		x = 0.477699279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39549 ÷ 217
    39549 ÷ 131072     		y = 0.301734924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477699279785156 × 2 - 1) × π
    -0.0446014404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14011956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301734924316406 × 2 - 1) × π
    0.396530151367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.2457362104264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14011956} λ = -0.14011956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2457362104264))-π/2
    2×atan(3.4754925515527)-π/2
    2×1.29063499935691-π/2
    2.58126999871382-1.57079632675     		φ = 1.01047367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14011956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.028259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01047367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.895877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62613 KachelY 39549 -0.14011956 1.01047367 -8.028259 57.895877
    Oben rechts KachelX + 1 62614 KachelY 39549 -0.14007162 1.01047367 -8.025513 57.895877
    Unten links KachelX 62613 KachelY + 1 39550 -0.14011956 1.01044819 -8.028259 57.894417
    Unten rechts KachelX + 1 62614 KachelY + 1 39550 -0.14007162 1.01044819 -8.025513 57.894417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01047367-1.01044819) × R
    2.54800000001332e-05 × 6371000     		dl = 162.333080000848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01047367-1.01044819) × R
    2.54800000001332e-05 × 6371000     		dr = 162.333080000848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14011956--0.14007162) × cos(1.01047367) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531459542884511 × 6371000     		do = 162.321424165551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14011956--0.14007162) × cos(1.01044819) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531481126404055 × 6371000     		du = 162.32801632798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01047367)-sin(1.01044819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531459542884511-0.531481126404055)×R²
    abs(-0.14007162--0.14011956)×2.15835195442882e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15835195442882e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15835195442882e-05×40589641000000     		ar = 26350.6717992771m²