Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62612 / 39645
↖ ↑ ↗
← N 57.755472°
W  8.031006°		 ← 162.92 m → N 57.755472°
W  8.028259°		 →
↑
162.91 m
↓
↑
162.91 m
↓
N 57.754007°
W  8.031006°		 ← 162.93 m →
26 541 m²		 N 57.754007°
W  8.028259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477695465087891 y=0.302471160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477695465087891 × 217)
    floor (0.477695465087891 × 131072)
    floor (62612.5)     		tx = 62612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302471160888672 × 217)
    floor (0.302471160888672 × 131072)
    floor (39645.5)     		ty = 39645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62612 / 39645 ti = "17/62612/39645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62612/39645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62612 ÷ 217
    62612 ÷ 131072     		x = 0.477691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39645 ÷ 217
    39645 ÷ 131072     		y = 0.302467346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302467346191406 × 2 - 1) × π
    0.395065307617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.24113426806287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14016749} λ = -0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24113426806287))-π/2
    2×atan(3.45953528052811)-π/2
    2×1.28940974087266-π/2
    2.57881948174533-1.57079632675     		φ = 1.00802315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00802315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.755472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62612 KachelY 39645 -0.14016749 1.00802315 -8.031006 57.755472
    Oben rechts KachelX + 1 62613 KachelY 39645 -0.14011956 1.00802315 -8.028259 57.755472
    Unten links KachelX 62612 KachelY + 1 39646 -0.14016749 1.00799758 -8.031006 57.754007
    Unten rechts KachelX + 1 62613 KachelY + 1 39646 -0.14011956 1.00799758 -8.028259 57.754007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00802315-1.00799758) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dl = 162.906470000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00802315-1.00799758) × R
    2.55700000000303e-05 × 6371000     		dr = 162.906470000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14016749--0.14011956) × cos(1.00802315) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533533740577565 × 6371000     		do = 162.920946096264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14016749--0.14011956) × cos(1.00799758) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533555366966593 × 6371000     		du = 162.927549974319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00802315)-sin(1.00799758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533533740577565-0.533555366966593)×R²
    abs(-0.14011956--0.14016749)×2.16263890282509e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16263890282509e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16263890282509e-05×40589641000000     		ar = 26541.414126405m²