Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62612 / 39573
↖ ↑ ↗
← N 57.860827°
W  8.031006°		 ← 162.45 m → N 57.860827°
W  8.028259°		 →
↑
162.46 m
↓
↑
162.46 m
↓
N 57.859366°
W  8.031006°		 ← 162.45 m →
26 392 m²		 N 57.859366°
W  8.028259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477695465087891 y=0.301921844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477695465087891 × 217)
    floor (0.477695465087891 × 131072)
    floor (62612.5)     		tx = 62612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301921844482422 × 217)
    floor (0.301921844482422 × 131072)
    floor (39573.5)     		ty = 39573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62612 / 39573 ti = "17/62612/39573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62612/39573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62612 ÷ 217
    62612 ÷ 131072     		x = 0.477691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39573 ÷ 217
    39573 ÷ 131072     		y = 0.301918029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301918029785156 × 2 - 1) × π
    0.396163940429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.24458572483552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14016749} λ = -0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24458572483552))-π/2
    2×atan(3.47149634667977)-π/2
    2×1.29032913208537-π/2
    2.58065826417075-1.57079632675     		φ = 1.00986194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00986194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.860827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62612 KachelY 39573 -0.14016749 1.00986194 -8.031006 57.860827
    Oben rechts KachelX + 1 62613 KachelY 39573 -0.14011956 1.00986194 -8.028259 57.860827
    Unten links KachelX 62612 KachelY + 1 39574 -0.14016749 1.00983644 -8.031006 57.859366
    Unten rechts KachelX + 1 62613 KachelY + 1 39574 -0.14011956 1.00983644 -8.028259 57.859366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00986194-1.00983644) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dl = 162.460500000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00986194-1.00983644) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dr = 162.460500000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14016749--0.14011956) × cos(1.00986194) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.531977629909669 × 6371000     		do = 162.445768983811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14016749--0.14011956) × cos(1.00983644) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.531999222076108 × 6371000     		du = 162.452362411587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00986194)-sin(1.00983644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531977629909669-0.531999222076108)×R²
    abs(-0.14011956--0.14016749)×2.15921664388219e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15921664388219e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15921664388219e-05×40589641000000     		ar = 26391.5564392029m²