Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62612 / 25446
↖ ↑ ↗
← N 73.348333°
W  8.031006°		 ← 87.50 m → N 73.348333°
W  8.028259°		 →
↑
87.54 m
↓
↑
87.54 m
↓
N 73.347546°
W  8.031006°		 ← 87.51 m →
7 660 m²		 N 73.347546°
W  8.028259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477695465087891 y=0.194141387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477695465087891 × 217)
    floor (0.477695465087891 × 131072)
    floor (62612.5)     		tx = 62612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194141387939453 × 217)
    floor (0.194141387939453 × 131072)
    floor (25446.5)     		ty = 25446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62612 / 25446 ti = "17/62612/25446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62612/25446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62612 ÷ 217
    62612 ÷ 131072     		x = 0.477691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25446 ÷ 217
    25446 ÷ 131072     		y = 0.194137573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477691650390625 × 2 - 1) × π
    -0.04461669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14016749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194137573242188 × 2 - 1) × π
    0.611724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.92179030576805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14016749} λ = -0.14016749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92179030576805))-π/2
    2×atan(6.83318100835842)-π/2
    2×1.42548312232182-π/2
    2.85096624464364-1.57079632675     		φ = 1.28016992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14016749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.031006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28016992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.348333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62612 KachelY 25446 -0.14016749 1.28016992 -8.031006 73.348333
    Oben rechts KachelX + 1 62613 KachelY 25446 -0.14011956 1.28016992 -8.028259 73.348333
    Unten links KachelX 62612 KachelY + 1 25447 -0.14016749 1.28015618 -8.031006 73.347546
    Unten rechts KachelX + 1 62613 KachelY + 1 25447 -0.14011956 1.28015618 -8.028259 73.347546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28016992-1.28015618) × R
    1.37399999999843e-05 × 6371000     		dl = 87.5375399999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28016992-1.28015618) × R
    1.37399999999843e-05 × 6371000     		dr = 87.5375399999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14016749--0.14011956) × cos(1.28016992) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.286552419438622 × 6371000     		do = 87.502228501192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14016749--0.14011956) × cos(1.28015618) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.286565583218697 × 6371000     		du = 87.5062482197983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28016992)-sin(1.28015618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286552419438622-0.286565583218697)×R²
    abs(-0.14011956--0.14016749)×1.31637800753759e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.31637800753759e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.31637800753759e-05×40589641000000     		ar = 7659.90576589722m²