Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62611 / 25457
↖ ↑ ↗
← N 73.339674°
W  8.033752°		 ← 87.56 m → N 73.339674°
W  8.031006°		 →
↑
87.54 m
↓
↑
87.54 m
↓
N 73.338887°
W  8.033752°		 ← 87.57 m →
7 665 m²		 N 73.338887°
W  8.031006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477687835693359 y=0.194225311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477687835693359 × 217)
    floor (0.477687835693359 × 131072)
    floor (62611.5)     		tx = 62611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194225311279297 × 217)
    floor (0.194225311279297 × 131072)
    floor (25457.5)     		ty = 25457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62611 / 25457 ti = "17/62611/25457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62611/25457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62611 ÷ 217
    62611 ÷ 131072     		x = 0.477684020996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25457 ÷ 217
    25457 ÷ 131072     		y = 0.194221496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477684020996094 × 2 - 1) × π
    -0.0446319580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14021543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194221496582031 × 2 - 1) × π
    0.611557006835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.92126299987223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14021543} λ = -0.14021543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92126299987223))-π/2
    2×atan(6.82957878154669)-π/2
    2×1.42540755284446-π/2
    2.85081510568893-1.57079632675     		φ = 1.28001878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14021543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.033752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28001878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.339674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62611 KachelY 25457 -0.14021543 1.28001878 -8.033752 73.339674
    Oben rechts KachelX + 1 62612 KachelY 25457 -0.14016749 1.28001878 -8.031006 73.339674
    Unten links KachelX 62611 KachelY + 1 25458 -0.14021543 1.28000504 -8.033752 73.338887
    Unten rechts KachelX + 1 62612 KachelY + 1 25458 -0.14016749 1.28000504 -8.031006 73.338887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28001878-1.28000504) × R
    1.37399999999843e-05 × 6371000     		dl = 87.5375399999001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28001878-1.28000504) × R
    1.37399999999843e-05 × 6371000     		dr = 87.5375399999001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14021543--0.14016749) × cos(1.28001878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.28669721804354 × 6371000     		do = 87.5647099768828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14021543--0.14016749) × cos(1.28000504) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286710381228378 × 6371000     		du = 87.5687303523528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28001878)-sin(1.28000504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28669721804354-0.286710381228378)×R²
    abs(-0.14016749--0.14021543)×1.31631848383496e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31631848383496e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31631848383496e-05×40589641000000     		ar = 7665.37526915105m²