Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62610 / 39603
↖ ↑ ↗
← N 57.816967°
W  8.036499°		 ← 162.68 m → N 57.816967°
W  8.033752°		 →
↑
162.65 m
↓
↑
162.65 m
↓
N 57.815504°
W  8.036499°		 ← 162.68 m →
26 460 m²		 N 57.815504°
W  8.033752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477680206298828 y=0.302150726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477680206298828 × 217)
    floor (0.477680206298828 × 131072)
    floor (62610.5)     		tx = 62610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302150726318359 × 217)
    floor (0.302150726318359 × 131072)
    floor (39603.5)     		ty = 39603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62610 / 39603 ti = "17/62610/39603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62610/39603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62610 ÷ 217
    62610 ÷ 131072     		x = 0.477676391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39603 ÷ 217
    39603 ÷ 131072     		y = 0.302146911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.044647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14026337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302146911621094 × 2 - 1) × π
    0.395706176757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.24314761784692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14026337} λ = -0.14026337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24314761784692))-π/2
    2×atan(3.46650755159305)-π/2
    2×1.28994637874979-π/2
    2.57989275749958-1.57079632675     		φ = 1.00909643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14026337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00909643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.816967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62610 KachelY 39603 -0.14026337 1.00909643 -8.036499 57.816967
    Oben rechts KachelX + 1 62611 KachelY 39603 -0.14021543 1.00909643 -8.033752 57.816967
    Unten links KachelX 62610 KachelY + 1 39604 -0.14026337 1.00907090 -8.036499 57.815504
    Unten rechts KachelX + 1 62611 KachelY + 1 39604 -0.14021543 1.00907090 -8.033752 57.815504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00909643-1.00907090) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dl = 162.651630000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00909643-1.00907090) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dr = 162.651630000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14026337--0.14021543) × cos(1.00909643) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532625676004242 × 6371000     		do = 162.677591236584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14026337--0.14021543) × cos(1.00907090) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532647283169793 × 6371000     		du = 162.684190621111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00909643)-sin(1.00907090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532625676004242-0.532647283169793)×R²
    abs(-0.14021543--0.14026337)×2.16071655505523e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16071655505523e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16071655505523e-05×40589641000000     		ar = 26460.3120808004m²