Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62610 / 25448
↖ ↑ ↗
← N 73.346759°
W  8.036499°		 ← 87.53 m → N 73.346759°
W  8.033752°		 →
↑
87.47 m
↓
↑
87.47 m
↓
N 73.345972°
W  8.036499°		 ← 87.53 m →
7 657 m²		 N 73.345972°
W  8.033752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477680206298828 y=0.194156646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477680206298828 × 217)
    floor (0.477680206298828 × 131072)
    floor (62610.5)     		tx = 62610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194156646728516 × 217)
    floor (0.194156646728516 × 131072)
    floor (25448.5)     		ty = 25448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62610 / 25448 ti = "17/62610/25448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62610/25448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62610 ÷ 217
    62610 ÷ 131072     		x = 0.477676391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25448 ÷ 217
    25448 ÷ 131072     		y = 0.19415283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477676391601562 × 2 - 1) × π
    -0.044647216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14026337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19415283203125 × 2 - 1) × π
    0.6116943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.92169443196881
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14026337} λ = -0.14026337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92169443196881))-π/2
    2×atan(6.83252591673782)-π/2
    2×1.42546938525627-π/2
    2.85093877051253-1.57079632675     		φ = 1.28014244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14026337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.036499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28014244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.346759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62610 KachelY 25448 -0.14026337 1.28014244 -8.036499 73.346759
    Oben rechts KachelX + 1 62611 KachelY 25448 -0.14021543 1.28014244 -8.033752 73.346759
    Unten links KachelX 62610 KachelY + 1 25449 -0.14026337 1.28012871 -8.036499 73.345972
    Unten rechts KachelX + 1 62611 KachelY + 1 25449 -0.14021543 1.28012871 -8.033752 73.345972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28014244-1.28012871) × R
    1.37300000000451e-05 × 6371000     		dl = 87.4738300002873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28014244-1.28012871) × R
    1.37300000000451e-05 × 6371000     		dr = 87.4738300002873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14026337--0.14021543) × cos(1.28014244) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286578746944673 × 6371000     		do = 87.5285258538427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14026337--0.14021543) × cos(1.28012871) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.286591901036018 × 6371000     		du = 87.5325434519259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28014244)-sin(1.28012871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286578746944673-0.286591901036018)×R²
    abs(-0.14021543--0.14026337)×1.31540913453909e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31540913453909e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31540913453909e-05×40589641000000     		ar = 7656.63110807484m²