Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62609 / 39120
↖ ↑ ↗
← N 58.516652°
W  8.039246°		 ← 159.51 m → N 58.516652°
W  8.036499°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.515218°
W  8.039246°		 ← 159.52 m →
25 437 m²		 N 58.515218°
W  8.036499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477672576904297 y=0.298465728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477672576904297 × 217)
    floor (0.477672576904297 × 131072)
    floor (62609.5)     		tx = 62609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298465728759766 × 217)
    floor (0.298465728759766 × 131072)
    floor (39120.5)     		ty = 39120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62609 / 39120 ti = "17/62609/39120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62609/39120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62609 ÷ 217
    62609 ÷ 131072     		x = 0.477668762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39120 ÷ 217
    39120 ÷ 131072     		y = 0.2984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477668762207031 × 2 - 1) × π
    -0.0446624755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14031131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2984619140625 × 2 - 1) × π
    0.403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2663011403634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14031131} λ = -0.14031131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2663011403634))-π/2
    2×atan(3.54770579754862)-π/2
    2×1.29605228395898-π/2
    2.59210456791796-1.57079632675     		φ = 1.02130824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14031131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.039246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02130824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.516652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62609 KachelY 39120 -0.14031131 1.02130824 -8.039246 58.516652
    Oben rechts KachelX + 1 62610 KachelY 39120 -0.14026337 1.02130824 -8.036499 58.516652
    Unten links KachelX 62609 KachelY + 1 39121 -0.14031131 1.02128321 -8.039246 58.515218
    Unten rechts KachelX + 1 62610 KachelY + 1 39121 -0.14026337 1.02128321 -8.036499 58.515218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02130824-1.02128321) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dl = 159.466129999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02130824-1.02128321) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dr = 159.466129999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14031131--0.14026337) × cos(1.02130824) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52225074190277 × 6371000     		do = 159.50881931119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14031131--0.14026337) × cos(1.02128321) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522272087122453 × 6371000     		du = 159.515338690707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02130824)-sin(1.02128321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52225074190277-0.522272087122453)×R²
    abs(-0.14026337--0.14031131)×2.13452196827779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13452196827779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13452196827779e-05×40589641000000     		ar = 25436.773927798m²