Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62608 / 79160
↖ ↑ ↗
← S 35.012002°
W  8.041992°		 ← 250.10 m → S 35.012002°
W  8.039246°		 →
↑
250.13 m
↓
↑
250.13 m
↓
S 35.014251°
W  8.041992°		 ← 250.09 m →
62 556 m²		 S 35.014251°
W  8.039246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477664947509766 y=0.603946685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477664947509766 × 217)
    floor (0.477664947509766 × 131072)
    floor (62608.5)     		tx = 62608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603946685791016 × 217)
    floor (0.603946685791016 × 131072)
    floor (79160.5)     		ty = 79160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62608 / 79160 ti = "17/62608/79160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62608/79160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62608 ÷ 217
    62608 ÷ 131072     		x = 0.4776611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79160 ÷ 217
    79160 ÷ 131072     		y = 0.60394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4776611328125 × 2 - 1) × π
    -0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60394287109375 × 2 - 1) × π
    -0.2078857421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.653092320423645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14035924} λ = -0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.653092320423645))-π/2
    2×atan(0.520433937389791)-π/2
    2×0.479860806721025-π/2
    0.959721613442049-1.57079632675     		φ = -0.61107471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61107471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -35.012002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62608 KachelY 79160 -0.14035924 -0.61107471 -8.041992 -35.012002
    Oben rechts KachelX + 1 62609 KachelY 79160 -0.14031131 -0.61107471 -8.039246 -35.012002
    Unten links KachelX 62608 KachelY + 1 79161 -0.14035924 -0.61111397 -8.041992 -35.014251
    Unten rechts KachelX + 1 62609 KachelY + 1 79161 -0.14031131 -0.61111397 -8.039246 -35.014251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61107471--0.61111397) × R
    3.92599999999854e-05 × 6371000     		dl = 250.125459999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61107471--0.61111397) × R
    3.92599999999854e-05 × 6371000     		dr = 250.125459999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14035924--0.14031131) × cos(-0.61107471) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.819031878228617 × 6371000     		do = 250.101236970612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14035924--0.14031131) × cos(-0.61111397) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.819009352250425 × 6371000     		du = 250.094358392183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61107471)-sin(-0.61111397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819031878228617-0.819009352250425)×R²
    abs(-0.14031131--0.14035924)×2.25259781917453e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.25259781917453e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.25259781917453e-05×40589641000000     		ar = 62555.8266981532m²