Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62607 / 78959
↖ ↑ ↗
← S 34.558597°
W  8.044739°		 ← 251.53 m → S 34.558597°
W  8.041992°		 →
↑
251.53 m
↓
↑
251.53 m
↓
S 34.560859°
W  8.044739°		 ← 251.53 m →
63 266 m²		 S 34.560859°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477657318115234 y=0.602413177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477657318115234 × 217)
    floor (0.477657318115234 × 131072)
    floor (62607.5)     		tx = 62607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602413177490234 × 217)
    floor (0.602413177490234 × 131072)
    floor (78959.5)     		ty = 78959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62607 / 78959 ti = "17/62607/78959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62607/78959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62607 ÷ 217
    62607 ÷ 131072     		x = 0.477653503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78959 ÷ 217
    78959 ÷ 131072     		y = 0.602409362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477653503417969 × 2 - 1) × π
    -0.0446929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14040718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602409362792969 × 2 - 1) × π
    -0.204818725585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.643457003600014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14040718} λ = -0.14040718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643457003600014))-π/2
    2×atan(0.52547271940986)-π/2
    2×0.483817508132033-π/2
    0.967635016264065-1.57079632675     		φ = -0.60316131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14040718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.044739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60316131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.558597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62607 KachelY 78959 -0.14040718 -0.60316131 -8.044739 -34.558597
    Oben rechts KachelX + 1 62608 KachelY 78959 -0.14035924 -0.60316131 -8.041992 -34.558597
    Unten links KachelX 62607 KachelY + 1 78960 -0.14040718 -0.60320079 -8.044739 -34.560859
    Unten rechts KachelX + 1 62608 KachelY + 1 78960 -0.14035924 -0.60320079 -8.041992 -34.560859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60316131--0.60320079) × R
    3.94800000000917e-05 × 6371000     		dl = 251.527080000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60316131--0.60320079) × R
    3.94800000000917e-05 × 6371000     		dr = 251.527080000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14040718--0.14035924) × cos(-0.60316131) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.823546483835814 × 6371000     		do = 251.532294249932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14040718--0.14035924) × cos(-0.60320079) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.823524088211799 × 6371000     		du = 251.525454049895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60316131)-sin(-0.60320079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823546483835814-0.823524088211799)×R²
    abs(-0.14035924--0.14040718)×2.23956240145151e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23956240145151e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23956240145151e-05×40589641000000     		ar = 63266.3232589309m²