Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62607 / 39121
↖ ↑ ↗
← N 58.515218°
W  8.044739°		 ← 159.52 m → N 58.515218°
W  8.041992°		 →
↑
159.53 m
↓
↑
159.53 m
↓
N 58.513783°
W  8.044739°		 ← 159.52 m →
25 448 m²		 N 58.513783°
W  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477657318115234 y=0.298473358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477657318115234 × 217)
    floor (0.477657318115234 × 131072)
    floor (62607.5)     		tx = 62607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298473358154297 × 217)
    floor (0.298473358154297 × 131072)
    floor (39121.5)     		ty = 39121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62607 / 39121 ti = "17/62607/39121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62607/39121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62607 ÷ 217
    62607 ÷ 131072     		x = 0.477653503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39121 ÷ 217
    39121 ÷ 131072     		y = 0.298469543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477653503417969 × 2 - 1) × π
    -0.0446929931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14040718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298469543457031 × 2 - 1) × π
    0.403060913085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.26625320346378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14040718} λ = -0.14040718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26625320346378))-π/2
    2×atan(3.54753573560808)-π/2
    2×1.29603976616244-π/2
    2.59207953232489-1.57079632675     		φ = 1.02128321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14040718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.044739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02128321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.515218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62607 KachelY 39121 -0.14040718 1.02128321 -8.044739 58.515218
    Oben rechts KachelX + 1 62608 KachelY 39121 -0.14035924 1.02128321 -8.041992 58.515218
    Unten links KachelX 62607 KachelY + 1 39122 -0.14040718 1.02125817 -8.044739 58.513783
    Unten rechts KachelX + 1 62608 KachelY + 1 39122 -0.14035924 1.02125817 -8.041992 58.513783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02128321-1.02125817) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dl = 159.529839999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02128321-1.02125817) × R
    2.50399999999207e-05 × 6371000     		dr = 159.529839999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14040718--0.14035924) × cos(1.02128321) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522272087122453 × 6371000     		do = 159.515338690707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14040718--0.14035924) × cos(1.02125817) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.52229344054259 × 6371000     		du = 159.521860574854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02128321)-sin(1.02125817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522272087122453-0.52229344054259)×R²
    abs(-0.14035924--0.14040718)×2.13534201372045e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13534201372045e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13534201372045e-05×40589641000000     		ar = 25447.9766777907m²