Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62605 / 76413
↖ ↑ ↗
← S 28.606226°
W  8.050232°		 ← 268.09 m → S 28.606226°
W  8.047486°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.608637°
W  8.050232°		 ← 268.08 m →
71 871 m²		 S 28.608637°
W  8.047486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477642059326172 y=0.582988739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477642059326172 × 217)
    floor (0.477642059326172 × 131072)
    floor (62605.5)     		tx = 62605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582988739013672 × 217)
    floor (0.582988739013672 × 131072)
    floor (76413.5)     		ty = 76413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62605 / 76413 ti = "17/62605/76413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62605/76413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62605 ÷ 217
    62605 ÷ 131072     		x = 0.477638244628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76413 ÷ 217
    76413 ÷ 131072     		y = 0.582984924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477638244628906 × 2 - 1) × π
    -0.0447235107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14050305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582984924316406 × 2 - 1) × π
    -0.165969848632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.521409657167351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14050305} λ = -0.14050305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521409657167351))-π/2
    2×atan(0.593683068236947)-π/2
    2×0.535761750495353-π/2
    1.07152350099071-1.57079632675     		φ = -0.49927283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14050305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.050232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49927283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.606226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62605 KachelY 76413 -0.14050305 -0.49927283 -8.050232 -28.606226
    Oben rechts KachelX + 1 62606 KachelY 76413 -0.14045512 -0.49927283 -8.047486 -28.606226
    Unten links KachelX 62605 KachelY + 1 76414 -0.14050305 -0.49931491 -8.050232 -28.608637
    Unten rechts KachelX + 1 62606 KachelY + 1 76414 -0.14045512 -0.49931491 -8.047486 -28.608637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49927283--0.49931491) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49927283--0.49931491) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14050305--0.14045512) × cos(-0.49927283) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.877930953706176 × 6371000     		do = 268.086778223563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14050305--0.14045512) × cos(-0.49931491) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.877910805560985 × 6371000     		du = 268.080625745046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49927283)-sin(-0.49931491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877930953706176-0.877910805560985)×R²
    abs(-0.14045512--0.14050305)×2.01481451908014e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.01481451908014e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.01481451908014e-05×40589641000000     		ar = 71871.0100562354m²