Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62601 / 39015
↖ ↑ ↗
← N 58.666941°
W  8.061218°		 ← 158.83 m → N 58.666941°
W  8.058471°		 →
↑
158.83 m
↓
↑
158.83 m
↓
N 58.665513°
W  8.061218°		 ← 158.83 m →
25 227 m²		 N 58.665513°
W  8.058471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477611541748047 y=0.297664642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477611541748047 × 217)
    floor (0.477611541748047 × 131072)
    floor (62601.5)     		tx = 62601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297664642333984 × 217)
    floor (0.297664642333984 × 131072)
    floor (39015.5)     		ty = 39015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62601 / 39015 ti = "17/62601/39015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62601/39015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62601 ÷ 217
    62601 ÷ 131072     		x = 0.477607727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39015 ÷ 217
    39015 ÷ 131072     		y = 0.297660827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477607727050781 × 2 - 1) × π
    -0.0447845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14069480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297660827636719 × 2 - 1) × π
    0.404678344726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27133451482351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14069480} λ = -0.14069480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27133451482351))-π/2
    2×atan(3.56560774510953)-π/2
    2×1.29736380740143-π/2
    2.59472761480287-1.57079632675     		φ = 1.02393129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14069480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.061218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02393129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.666941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62601 KachelY 39015 -0.14069480 1.02393129 -8.061218 58.666941
    Oben rechts KachelX + 1 62602 KachelY 39015 -0.14064686 1.02393129 -8.058471 58.666941
    Unten links KachelX 62601 KachelY + 1 39016 -0.14069480 1.02390636 -8.061218 58.665513
    Unten rechts KachelX + 1 62602 KachelY + 1 39016 -0.14064686 1.02390636 -8.058471 58.665513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02393129-1.02390636) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dl = 158.82902999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02393129-1.02390636) × R
    2.49299999999231e-05 × 6371000     		dr = 158.82902999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14069480--0.14064686) × cos(1.02393129) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520012031818873 × 6371000     		do = 158.825059627171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14069480--0.14064686) × cos(1.02390636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520033325839533 × 6371000     		du = 158.831563369188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02393129)-sin(1.02390636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520012031818873-0.520033325839533)×R²
    abs(-0.14064686--0.14069480)×2.12940206598677e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12940206598677e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12940206598677e-05×40589641000000     		ar = 25226.5466528725m²