Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62601 / 29834
↖ ↑ ↗
← N 69.524912°
W  8.061218°		 ← 106.84 m → N 69.524912°
W  8.058471°		 →
↑
106.84 m
↓
↑
106.84 m
↓
N 69.523951°
W  8.061218°		 ← 106.84 m →
11 415 m²		 N 69.523951°
W  8.058471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477611541748047 y=0.227619171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477611541748047 × 217)
    floor (0.477611541748047 × 131072)
    floor (62601.5)     		tx = 62601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227619171142578 × 217)
    floor (0.227619171142578 × 131072)
    floor (29834.5)     		ty = 29834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62601 / 29834 ti = "17/62601/29834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62601/29834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62601 ÷ 217
    62601 ÷ 131072     		x = 0.477607727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29834 ÷ 217
    29834 ÷ 131072     		y = 0.227615356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477607727050781 × 2 - 1) × π
    -0.0447845458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14069480
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227615356445312 × 2 - 1) × π
    0.544769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.71144319023524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14069480} λ = -0.14069480}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71144319023524))-π/2
    2×atan(5.53694658146555)-π/2
    2×1.39211747877686-π/2
    2.78423495755372-1.57079632675     		φ = 1.21343863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14069480} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.061218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21343863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.524912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62601 KachelY 29834 -0.14069480 1.21343863 -8.061218 69.524912
    Oben rechts KachelX + 1 62602 KachelY 29834 -0.14064686 1.21343863 -8.058471 69.524912
    Unten links KachelX 62601 KachelY + 1 29835 -0.14069480 1.21342186 -8.061218 69.523951
    Unten rechts KachelX + 1 62602 KachelY + 1 29835 -0.14064686 1.21342186 -8.058471 69.523951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21343863-1.21342186) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dl = 106.841669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21343863-1.21342186) × R
    1.67699999999993e-05 × 6371000     		dr = 106.841669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14069480--0.14064686) × cos(1.21343863) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.349800083228344 × 6371000     		do = 106.83794927207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14069480--0.14064686) × cos(1.21342186) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.349815793723854 × 6371000     		du = 106.842747661787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21343863)-sin(1.21342186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349800083228344-0.349815793723854)×R²
    abs(-0.14064686--0.14069480)×1.57104955103571e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.57104955103571e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.57104955103571e-05×40589641000000     		ar = 11415.0012537995m²