Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 626 / 1146
↖ ↑ ↗
← N 61.856149°
W124.980469°		 ← 4 609.79 m → N 61.856149°
W124.892578°		 →
↑
4 612.92 m
↓
↑
4 612.92 m
↓
N 61.814664°
W124.980469°		 ← 4 616.03 m →
21 278 991 m²		 N 61.814664°
W124.892578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1529541015625 y=0.2799072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1529541015625 × 212)
    floor (0.1529541015625 × 4096)
    floor (626.5)     		tx = 626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2799072265625 × 212)
    floor (0.2799072265625 × 4096)
    floor (1146.5)     		ty = 1146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 626 / 1146 ti = "12/626/1146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/626/1146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 626 ÷ 212
    626 ÷ 4096     		x = 0.15283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1146 ÷ 212
    1146 ÷ 4096     		y = 0.27978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15283203125 × 2 - 1) × π
    -0.6943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18132068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27978515625 × 2 - 1) × π
    0.4404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.3836506706333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18132068} λ = -2.18132068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3836506706333))-π/2
    2×atan(3.98943920394254)-π/2
    2×1.32519489293209-π/2
    2.65038978586417-1.57079632675     		φ = 1.07959346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18132068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07959346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.856149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 626 KachelY 1146 -2.18132068 1.07959346 -124.980469 61.856149
    Oben rechts KachelX + 1 627 KachelY 1146 -2.17978670 1.07959346 -124.892578 61.856149
    Unten links KachelX 626 KachelY + 1 1147 -2.18132068 1.07886941 -124.980469 61.814664
    Unten rechts KachelX + 1 627 KachelY + 1 1147 -2.17978670 1.07886941 -124.892578 61.814664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07959346-1.07886941) × R
    0.000724049999999865 × 6371000     		dl = 4612.92254999914m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07959346-1.07886941) × R
    0.000724049999999865 × 6371000     		dr = 4612.92254999914m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18132068--2.17978670) × cos(1.07959346) × R
    0.0015339799999996 × 0.471686876341331 × 6371000     		do = 4609.78951244475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18132068--2.17978670) × cos(1.07886941) × R
    0.0015339799999996 × 0.472325195404319 × 6371000     		du = 4616.02779608109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07959346)-sin(1.07886941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471686876341331-0.472325195404319)×R²
    abs(-2.17978670--2.18132068)×0.000638319062988058×R²
    0.0015339799999996×0.000638319062988058×6371000²
    0.0015339799999996×0.000638319062988058×40589641000000     		ar = 21278991.2819559m²