Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62599 / 29831
↖ ↑ ↗
← N 69.527794°
W  8.066711°		 ← 106.80 m → N 69.527794°
W  8.063965°		 →
↑
106.78 m
↓
↑
106.78 m
↓
N 69.526834°
W  8.066711°		 ← 106.81 m →
11 404 m²		 N 69.526834°
W  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477596282958984 y=0.227596282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477596282958984 × 217)
    floor (0.477596282958984 × 131072)
    floor (62599.5)     		tx = 62599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.227596282958984 × 217)
    floor (0.227596282958984 × 131072)
    floor (29831.5)     		ty = 29831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62599 / 29831 ti = "17/62599/29831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62599/29831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62599 ÷ 217
    62599 ÷ 131072     		x = 0.477592468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29831 ÷ 217
    29831 ÷ 131072     		y = 0.227592468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477592468261719 × 2 - 1) × π
    -0.0448150634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14079067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.227592468261719 × 2 - 1) × π
    0.544815063476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.7115870009341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14079067} λ = -0.14079067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7115870009341))-π/2
    2×atan(5.53774291088196)-π/2
    2×1.39214262957975-π/2
    2.7842852591595-1.57079632675     		φ = 1.21348893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14079067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.066711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21348893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.527794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62599 KachelY 29831 -0.14079067 1.21348893 -8.066711 69.527794
    Oben rechts KachelX + 1 62600 KachelY 29831 -0.14074274 1.21348893 -8.063965 69.527794
    Unten links KachelX 62599 KachelY + 1 29832 -0.14079067 1.21347217 -8.066711 69.526834
    Unten rechts KachelX + 1 62600 KachelY + 1 29832 -0.14074274 1.21347217 -8.063965 69.526834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21348893-1.21347217) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dl = 106.777960000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21348893-1.21347217) × R
    1.67600000000601e-05 × 6371000     		dr = 106.777960000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14079067--0.14074274) × cos(1.21348893) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.349752960519998 × 6371000     		do = 106.8012740229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14079067--0.14074274) × cos(1.21347217) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.349768661942202 × 6371000     		du = 106.806068641058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21348893)-sin(1.21347217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349752960519998-0.349768661942202)×R²
    abs(-0.14074274--0.14079067)×1.5701422203418e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.5701422203418e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.5701422203418e-05×40589641000000     		ar = 11404.278145553m²