Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62598 / 76430
↖ ↑ ↗
← S 28.647210°
W  8.069458°		 ← 268.04 m → S 28.647210°
W  8.066711°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
S 28.649620°
W  8.069458°		 ← 268.03 m →
71 824 m²		 S 28.649620°
W  8.066711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477588653564453 y=0.583118438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477588653564453 × 217)
    floor (0.477588653564453 × 131072)
    floor (62598.5)     		tx = 62598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583118438720703 × 217)
    floor (0.583118438720703 × 131072)
    floor (76430.5)     		ty = 76430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62598 / 76430 ti = "17/62598/76430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62598/76430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62598 ÷ 217
    62598 ÷ 131072     		x = 0.477584838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76430 ÷ 217
    76430 ÷ 131072     		y = 0.583114624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477584838867188 × 2 - 1) × π
    -0.044830322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14083861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583114624023438 × 2 - 1) × π
    -0.166229248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.522224584460892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14083861} λ = -0.14083861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522224584460892))-π/2
    2×atan(0.593199456781779)-π/2
    2×0.53540409535594-π/2
    1.07080819071188-1.57079632675     		φ = -0.49998814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14083861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.069458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49998814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.647210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62598 KachelY 76430 -0.14083861 -0.49998814 -8.069458 -28.647210
    Oben rechts KachelX + 1 62599 KachelY 76430 -0.14079067 -0.49998814 -8.066711 -28.647210
    Unten links KachelX 62598 KachelY + 1 76431 -0.14083861 -0.50003020 -8.069458 -28.649620
    Unten rechts KachelX + 1 62599 KachelY + 1 76431 -0.14079067 -0.50003020 -8.066711 -28.649620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49998814--0.50003020) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49998814--0.50003020) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14083861--0.14079067) × cos(-0.49998814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87758824781554 × 6371000     		do = 268.038040004344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14083861--0.14079067) × cos(-0.50003020) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.877568082838914 × 6371000     		du = 268.031881101436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49998814)-sin(-0.50003020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87758824781554-0.877568082838914)×R²
    abs(-0.14079067--0.14083861)×2.01649766263801e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.01649766263801e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.01649766263801e-05×40589641000000     		ar = 71823.7898692221m²