Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62595 / 34347
↖ ↑ ↗
← N 64.723744°
W  8.077698°		 ← 130.41 m → N 64.723744°
W  8.074951°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 64.722571°
W  8.077698°		 ← 130.42 m →
17 008 m²		 N 64.722571°
W  8.074951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477565765380859 y=0.262050628662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477565765380859 × 217)
    floor (0.477565765380859 × 131072)
    floor (62595.5)     		tx = 62595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262050628662109 × 217)
    floor (0.262050628662109 × 131072)
    floor (34347.5)     		ty = 34347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62595 / 34347 ti = "17/62595/34347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62595/34347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62595 ÷ 217
    62595 ÷ 131072     		x = 0.477561950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34347 ÷ 217
    34347 ÷ 131072     		y = 0.262046813964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477561950683594 × 2 - 1) × π
    -0.0448760986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14098242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262046813964844 × 2 - 1) × π
    0.475906372070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.49510396224993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14098242} λ = -0.14098242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49510396224993))-π/2
    2×atan(4.45980017960848)-π/2
    2×1.35021938437305-π/2
    2.70043876874609-1.57079632675     		φ = 1.12964244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14098242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.077698°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12964244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.723744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62595 KachelY 34347 -0.14098242 1.12964244 -8.077698 64.723744
    Oben rechts KachelX + 1 62596 KachelY 34347 -0.14093448 1.12964244 -8.074951 64.723744
    Unten links KachelX 62595 KachelY + 1 34348 -0.14098242 1.12962197 -8.077698 64.722571
    Unten rechts KachelX + 1 62596 KachelY + 1 34348 -0.14093448 1.12962197 -8.074951 64.722571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12964244-1.12962197) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12964244-1.12962197) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14098242--0.14093448) × cos(1.12964244) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426983162271654 × 6371000     		do = 130.41164830435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14098242--0.14093448) × cos(1.12962197) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427001672375697 × 6371000     		du = 130.417301766575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12964244)-sin(1.12962197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426983162271654-0.427001672375697)×R²
    abs(-0.14093448--0.14098242)×1.85101040432456e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85101040432456e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85101040432456e-05×40589641000000     		ar = 17007.9216012758m²