Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62594 / 34350
↖ ↑ ↗
← N 64.720226°
W  8.080444°		 ← 130.43 m → N 64.720226°
W  8.077698°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 64.719053°
W  8.080444°		 ← 130.43 m →
17 010 m²		 N 64.719053°
W  8.077698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477558135986328 y=0.262073516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477558135986328 × 217)
    floor (0.477558135986328 × 131072)
    floor (62594.5)     		tx = 62594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262073516845703 × 217)
    floor (0.262073516845703 × 131072)
    floor (34350.5)     		ty = 34350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62594 / 34350 ti = "17/62594/34350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62594/34350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62594 ÷ 217
    62594 ÷ 131072     		x = 0.477554321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34350 ÷ 217
    34350 ÷ 131072     		y = 0.262069702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477554321289062 × 2 - 1) × π
    -0.044891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14103036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262069702148438 × 2 - 1) × π
    0.475860595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49496015155107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14103036} λ = -0.14103036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49496015155107))-π/2
    2×atan(4.45915885874338)-π/2
    2×1.35018868000332-π/2
    2.70037736000664-1.57079632675     		φ = 1.12958103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14103036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.080444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12958103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.720226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62594 KachelY 34350 -0.14103036 1.12958103 -8.080444 64.720226
    Oben rechts KachelX + 1 62595 KachelY 34350 -0.14098242 1.12958103 -8.077698 64.720226
    Unten links KachelX 62594 KachelY + 1 34351 -0.14103036 1.12956056 -8.080444 64.719053
    Unten rechts KachelX + 1 62595 KachelY + 1 34351 -0.14098242 1.12956056 -8.077698 64.719053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12958103-1.12956056) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12958103-1.12956056) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14103036--0.14098242) × cos(1.12958103) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427038692047008 × 6371000     		do = 130.428608527079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14103036--0.14098242) × cos(1.12956056) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42705720161426 × 6371000     		du = 130.434261825355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12958103)-sin(1.12956056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427038692047008-0.42705720161426)×R²
    abs(-0.14098242--0.14103036)×1.8509567252134e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8509567252134e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8509567252134e-05×40589641000000     		ar = 17010.1334472652m²