Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62594 / 33670
↖ ↑ ↗
← N 65.506131°
W  8.080444°		 ← 126.63 m → N 65.506131°
W  8.077698°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
N 65.504992°
W  8.080444°		 ← 126.63 m →
16 039 m²		 N 65.504992°
W  8.077698°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477558135986328 y=0.256885528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477558135986328 × 217)
    floor (0.477558135986328 × 131072)
    floor (62594.5)     		tx = 62594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.256885528564453 × 217)
    floor (0.256885528564453 × 131072)
    floor (33670.5)     		ty = 33670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62594 / 33670 ti = "17/62594/33670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62594/33670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62594 ÷ 217
    62594 ÷ 131072     		x = 0.477554321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33670 ÷ 217
    33670 ÷ 131072     		y = 0.256881713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477554321289062 × 2 - 1) × π
    -0.044891357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14103036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.256881713867188 × 2 - 1) × π
    0.486236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.52755724329271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14103036} λ = -0.14103036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52755724329271))-π/2
    2×atan(4.60690950714921)-π/2
    2×1.35704699751467-π/2
    2.71409399502935-1.57079632675     		φ = 1.14329767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14103036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.080444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14329767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.506131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62594 KachelY 33670 -0.14103036 1.14329767 -8.080444 65.506131
    Oben rechts KachelX + 1 62595 KachelY 33670 -0.14098242 1.14329767 -8.077698 65.506131
    Unten links KachelX 62594 KachelY + 1 33671 -0.14103036 1.14327779 -8.080444 65.504992
    Unten rechts KachelX + 1 62595 KachelY + 1 33671 -0.14098242 1.14327779 -8.077698 65.504992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14329767-1.14327779) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14329767-1.14327779) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14103036--0.14098242) × cos(1.14329767) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414595865377694 × 6371000     		do = 126.628248983913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14103036--0.14098242) × cos(1.14327779) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.414613956207928 × 6371000     		du = 126.633774389124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14329767)-sin(1.14327779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414595865377694-0.414613956207928)×R²
    abs(-0.14098242--0.14103036)×1.80908302339633e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.80908302339633e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.80908302339633e-05×40589641000000     		ar = 16038.5115684999m²