Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62591 / 78985
↖ ↑ ↗
← S 34.617387°
W  8.088684°		 ← 251.35 m → S 34.617387°
W  8.085937°		 →
↑
251.34 m
↓
↑
251.34 m
↓
S 34.619647°
W  8.088684°		 ← 251.35 m →
63 174 m²		 S 34.619647°
W  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477535247802734 y=0.602611541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477535247802734 × 217)
    floor (0.477535247802734 × 131072)
    floor (62591.5)     		tx = 62591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602611541748047 × 217)
    floor (0.602611541748047 × 131072)
    floor (78985.5)     		ty = 78985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62591 / 78985 ti = "17/62591/78985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62591/78985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62591 ÷ 217
    62591 ÷ 131072     		x = 0.477531433105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78985 ÷ 217
    78985 ÷ 131072     		y = 0.602607727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477531433105469 × 2 - 1) × π
    -0.0449371337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14117417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602607727050781 × 2 - 1) × π
    -0.205215454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.644703362990135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14117417} λ = -0.14117417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.644703362990135))-π/2
    2×atan(0.524818199520005)-π/2
    2×0.483304472154151-π/2
    0.966608944308301-1.57079632675     		φ = -0.60418738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14117417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.088684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60418738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.617387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62591 KachelY 78985 -0.14117417 -0.60418738 -8.088684 -34.617387
    Oben rechts KachelX + 1 62592 KachelY 78985 -0.14112623 -0.60418738 -8.085937 -34.617387
    Unten links KachelX 62591 KachelY + 1 78986 -0.14117417 -0.60422683 -8.088684 -34.619647
    Unten rechts KachelX + 1 62592 KachelY + 1 78986 -0.14112623 -0.60422683 -8.085937 -34.619647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60418738--0.60422683) × R
    3.94499999999409e-05 × 6371000     		dl = 251.335949999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60418738--0.60422683) × R
    3.94499999999409e-05 × 6371000     		dr = 251.335949999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14117417--0.14112623) × cos(-0.60418738) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822964013449787 × 6371000     		do = 251.354392801252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14117417--0.14112623) × cos(-0.60422683) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.822941601520555 × 6371000     		du = 251.347547621181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60418738)-sin(-0.60422683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822964013449787-0.822941601520555)×R²
    abs(-0.14112623--0.14117417)×2.24119292312475e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24119292312475e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24119292312475e-05×40589641000000     		ar = 63173.5348896994m²