Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62590 / 76419
↖ ↑ ↗
← S 28.620693°
W  8.091431°		 ← 268.11 m → S 28.620693°
W  8.088684°		 →
↑
268.09 m
↓
↑
268.09 m
↓
S 28.623104°
W  8.091431°		 ← 268.10 m →
71 876 m²		 S 28.623104°
W  8.088684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477527618408203 y=0.583034515380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477527618408203 × 217)
    floor (0.477527618408203 × 131072)
    floor (62590.5)     		tx = 62590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583034515380859 × 217)
    floor (0.583034515380859 × 131072)
    floor (76419.5)     		ty = 76419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62590 / 76419 ti = "17/62590/76419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62590/76419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62590 ÷ 217
    62590 ÷ 131072     		x = 0.477523803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76419 ÷ 217
    76419 ÷ 131072     		y = 0.583030700683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477523803710938 × 2 - 1) × π
    -0.044952392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14122211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583030700683594 × 2 - 1) × π
    -0.166061401367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.521697278565071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14122211} λ = -0.14122211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521697278565071))-π/2
    2×atan(0.593512336837237)-π/2
    2×0.535635503325316-π/2
    1.07127100665063-1.57079632675     		φ = -0.49952532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14122211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.091431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49952532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.620693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62590 KachelY 76419 -0.14122211 -0.49952532 -8.091431 -28.620693
    Oben rechts KachelX + 1 62591 KachelY 76419 -0.14117417 -0.49952532 -8.088684 -28.620693
    Unten links KachelX 62590 KachelY + 1 76420 -0.14122211 -0.49956740 -8.091431 -28.623104
    Unten rechts KachelX + 1 62591 KachelY + 1 76420 -0.14117417 -0.49956740 -8.088684 -28.623104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49952532--0.49956740) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dl = 268.091679999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49952532--0.49956740) × R
    4.20799999999999e-05 × 6371000     		dr = 268.091679999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14122211--0.14117417) × cos(-0.49952532) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877810036727558 × 6371000     		do = 268.105780047076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14122211--0.14117417) × cos(-0.49956740) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.877789879255294 × 6371000     		du = 268.099623436193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49952532)-sin(-0.49956740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877810036727558-0.877789879255294)×R²
    abs(-0.14117417--0.14122211)×2.01574722639153e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.01574722639153e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.01574722639153e-05×40589641000000     		ar = 71876.103733074m²