Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6259 / 7283
↖ ↑ ↗
← N 19.580493°
W 42.473145°		 ← 2 301.99 m → N 19.580493°
W 42.451172°		 →
↑
2 302.10 m
↓
↑
2 302.10 m
↓
N 19.559790°
W 42.473145°		 ← 2 302.28 m →
5 299 740 m²		 N 19.559790°
W 42.451172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382049560546875 y=0.444549560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382049560546875 × 214)
    floor (0.382049560546875 × 16384)
    floor (6259.5)     		tx = 6259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444549560546875 × 214)
    floor (0.444549560546875 × 16384)
    floor (7283.5)     		ty = 7283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6259 / 7283 ti = "14/6259/7283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6259/7283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6259 ÷ 214
    6259 ÷ 16384     		x = 0.38201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7283 ÷ 214
    7283 ÷ 16384     		y = 0.44451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38201904296875 × 2 - 1) × π
    -0.2359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74129622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    0.1109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.348597134037048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74129622} λ = -0.74129622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348597134037048))-π/2
    2×atan(1.41707818276327)-π/2
    2×0.956270203581437-π/2
    1.91254040716287-1.57079632675     		φ = 0.34174408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74129622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.473145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34174408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.580493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6259 KachelY 7283 -0.74129622 0.34174408 -42.473145 19.580493
    Oben rechts KachelX + 1 6260 KachelY 7283 -0.74091272 0.34174408 -42.451172 19.580493
    Unten links KachelX 6259 KachelY + 1 7284 -0.74129622 0.34138274 -42.473145 19.559790
    Unten rechts KachelX + 1 6260 KachelY + 1 7284 -0.74091272 0.34138274 -42.451172 19.559790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34174408-0.34138274) × R
    0.000361339999999988 × 6371000     		dl = 2302.09713999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34174408-0.34138274) × R
    0.000361339999999988 × 6371000     		dr = 2302.09713999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74129622--0.74091272) × cos(0.34174408) × R
    0.000383499999999981 × 0.942171603813253 × 6371000     		do = 2301.98762290733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74129622--0.74091272) × cos(0.34138274) × R
    0.000383499999999981 × 0.942292638474371 × 6371000     		du = 2302.28334429259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34174408)-sin(0.34138274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942171603813253-0.942292638474371)×R²
    abs(-0.74091272--0.74129622)×0.000121034661117903×R²
    0.000383499999999981×0.000121034661117903×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121034661117903×40589641000000     		ar = 5299739.57035243m²