Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6259 / 6048
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E 95.053711°		 ← 2 082.56 m → S 64.774125°
E 95.097656°		 →
↑
2 081.85 m
↓
↑
2 081.85 m
↓
S 64.792848°
E 95.053711°		 ← 2 081.12 m →
4 334 086 m²		 S 64.792848°
E 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.76409912109375 y=0.73834228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.76409912109375 × 213)
    floor (0.76409912109375 × 8192)
    floor (6259.5)     		tx = 6259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.73834228515625 × 213)
    floor (0.73834228515625 × 8192)
    floor (6048.5)     		ty = 6048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6259 / 6048 ti = "13/6259/6048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6259/6048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6259 ÷ 213
    6259 ÷ 8192     		x = 0.7640380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6048 ÷ 213
    6048 ÷ 8192     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7640380859375 × 2 - 1) × π
    0.528076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65900022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65900022} λ = 1.65900022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65900022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.053711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6259 KachelY 6048 1.65900022 -1.13052176 95.053711 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 6260 KachelY 6048 1.65976721 -1.13052176 95.097656 -64.774125
    Unten links KachelX 6259 KachelY + 1 6049 1.65900022 -1.13084853 95.053711 -64.792848
    Unten rechts KachelX + 1 6260 KachelY + 1 6049 1.65976721 -1.13084853 95.097656 -64.792848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.13084853) × R
    0.000326770000000032 × 6371000     		dl = 2081.8516700002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.13084853) × R
    0.000326770000000032 × 6371000     		dr = 2081.8516700002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65900022-1.65976721) × cos(-1.13052176) × R
    0.000766990000000023 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 2082.56413660183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65900022-1.65976721) × cos(-1.13084853) × R
    0.000766990000000023 × 0.425892233548999 × 6371000     		du = 2081.11954150036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.13084853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.425892233548999)×R²
    abs(1.65976721-1.65900022)×0.000295630223094367×R²
    0.000766990000000023×0.000295630223094367×6371000²
    0.000766990000000023×0.000295630223094367×40589641000000     		ar = 4334085.94787114m²