Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62589 / 78947
↖ ↑ ↗
← S 34.531450°
W  8.094177°		 ← 251.56 m → S 34.531450°
W  8.091431°		 →
↑
251.59 m
↓
↑
251.59 m
↓
S 34.533712°
W  8.094177°		 ← 251.56 m →
63 290 m²		 S 34.533712°
W  8.091431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477519989013672 y=0.602321624755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477519989013672 × 217)
    floor (0.477519989013672 × 131072)
    floor (62589.5)     		tx = 62589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602321624755859 × 217)
    floor (0.602321624755859 × 131072)
    floor (78947.5)     		ty = 78947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62589 / 78947 ti = "17/62589/78947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62589/78947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62589 ÷ 217
    62589 ÷ 131072     		x = 0.477516174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78947 ÷ 217
    78947 ÷ 131072     		y = 0.602317810058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477516174316406 × 2 - 1) × π
    -0.0449676513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14127004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602317810058594 × 2 - 1) × π
    -0.204635620117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.642881760804573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14127004} λ = -0.14127004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.642881760804573))-π/2
    2×atan(0.525775080763159)-π/2
    2×0.484054416364013-π/2
    0.968108832728026-1.57079632675     		φ = -0.60268749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14127004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.094177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60268749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.531450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62589 KachelY 78947 -0.14127004 -0.60268749 -8.094177 -34.531450
    Oben rechts KachelX + 1 62590 KachelY 78947 -0.14122211 -0.60268749 -8.091431 -34.531450
    Unten links KachelX 62589 KachelY + 1 78948 -0.14127004 -0.60272698 -8.094177 -34.533712
    Unten rechts KachelX + 1 62590 KachelY + 1 78948 -0.14122211 -0.60272698 -8.091431 -34.533712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60268749--0.60272698) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dl = 251.590790000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60268749--0.60272698) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dr = 251.590790000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(-0.60268749) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.823815165201791 × 6371000     		do = 251.561871190813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14127004--0.14122211) × cos(-0.60272698) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.823792779316771 × 6371000     		du = 251.55503539152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60268749)-sin(-0.60272698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823815165201791-0.823792779316771)×R²
    abs(-0.14122211--0.14127004)×2.23858850199044e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.23858850199044e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.23858850199044e-05×40589641000000     		ar = 63289.7900029716m²